נסג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה אלגברית, נסג (Retract) של מרחב טופולוגי הוא תת-מרחב אליו אפשר לסגת מהמרחב כולו על ידי פונקציה רציפה. נסג עיוותי (Deformation retract) הוא, אינטואיטיבית, תת-מרחב אליו ניתן להשתנות (או להתעוות) מהמרחב כולו בצורה רציפה.

אחת השאלות הבסיסיות בטופולוגיה אלגברית היא אילו תתי מרחבים של מרחב טופולוגי הם נסג/נסג עיוותי שלו.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב טופולוגי, ו- תת-מרחב שלו. נאמר כי הוא נסג של , אם קיימת העתקה רציפה כך ש-. המיפוי נקרא לעיתים נסיגה.

בשקילות, אם נסמן ב- את העתקת ההכלה יש לדרוש כי , פונקציית הזהות על .


ייקרא נסג עיוותי (Deformation retract) אם קיימת הומוטופיה כך ש-

ההומוטפיה נקראת לעיתים נסיגה עוויתית. במילים אחרות, כזו היא הומוטופיה בין העתקת הזהות והעתקת נסיגה.


הערה: לעיתים בהגדרת נסג עיוותי מחלישים את הדרישה השנייה ל-, ואז להגדרה לעיל קוראים נסג עיוותי חזק. לאורך הערך נעסוק רק בנסג עיוותי חזק, וכאן הוא ייקרא פשוט נסג עיוותי.

נסגים והחבורה היסודית[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיים קשר הדוק בין נסגים לבין החבורה היסודית הראשונה של מרחב קשיר מסילתית סביב (כל) נקודה , אותה נסמן .

ראשית, אם נסג ו- העתקת ההכלה, אז ההעתקה , הנתונה על ידי היא חד חד ערכית. יתרה מזאת, אם נסג עיוותי, איזומורפיזם חבורות. כלומר - למרחב טופולוגי ולנסג עיוותי שלו אותה חבורה יסודית.

טענות אלו עוזרות להראות למשל שתתי מרחבים מסוימים אינם מהווים נסג (ראו דוגמאות).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקבוצה קמורה (עם הטופולוגיה הממשית סטנדרטית) כל תת-מרחב הוא נסג.
  • כל נסג עיוותי הוא נסג.
  • נסג של מרחב כוויץ הוא מרחב כוויץ.
  • הספירה ה- ממדית במרחב היא נסג עיוותי, על ידי ההעתקה
  • איננו נסג של העיגול ה-2 ממדי , לפי השיקול לעיל על החבורות היסודיות - כאן , אבל , ואין בין הראשונה לשנייה העתקה חד חד ערכית! מתוצאה זו ניתן להסיק בקלות את משפט נקודת השבת של בראואר.
  • נסג עיוותי של העיגול ה-2 ממדי בלי הראשית, , ולכן יש להם אותה חבורה יסודית, כלומר .
  • השפה של טבעת מביוס איננה נסג של הטבעת.
  • לכל , תת-המרחב של הטורוס הוא נסג אך לא נסג עיוותי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]