מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית , בו מנת הסדרה (מסומנת באות
q
{\displaystyle q}
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
הוכחת נוסחאת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית [ עריכת קוד מקור | עריכה ] דיאגרמה להמחשת סכום הסדרה ההנדסית
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
.
.
.
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}...}
המתכנסת ל-
2
{\displaystyle 2}
נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת
(
a
n
)
n
=
1
∞
=
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
.
.
.
{\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }=a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...}
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
lim
n
→
∞
q
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }q^{n}=0}
S
{\displaystyle S}
S
∞
{\displaystyle S_{\infty }}
S
n
=
a
1
(
q
n
−
1
)
q
−
1
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}
גבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
a
1
(
q
n
−
1
)
q
−
1
=
a
1
(
lim
n
→
∞
q
n
−
1
)
q
−
1
=
a
1
(
0
−
1
)
q
−
1
=
a
1
(
−
1
)
q
−
1
=
a
1
1
−
q
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(\lim _{n\to \infty }q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(0-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}}
ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת
a
1
=
1
,
q
=
1
2
{\displaystyle a_{1}=1,q={\frac {1}{2}}}
מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא:
S
=
1
1
−
1
2
=
1
1
2
=
2
{\displaystyle S={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2}
.
ספר לימוד בוויקיספר: