סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית, בו מנת הסדרה $q$ מקיימת $|q|<1$. סדרה הנדסית שלא מקיימת תנאי זה היא סדרה מתבדרת.

סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת הוא:

$\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a_{1}}{1-q}}$

הוכחת נוסחת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית

תרשים להמחשת סכום הסדרה ההנדסית $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ המתכנסת ל-2

נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }=a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots$. על פי הגדרת הסדרה ההנדסית המתכנסת, מנת הסדרה מקיימת $|q|<1$ ולכן $\lim _{n\to \infty }q^{n-1}=0$.

את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים $S$ או לעיתים $S_{\infty }$.

הסכום החלקי של סדרה הנדסית הוא:

$S_{n}=a_{1}\sum _{i=1}^{n}q^{i-1}$

ניתן לחשב אותו גם באמצעות הנוסחה:

$S_{n}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$.

משמעות העובדה שסכום הסדרה מתכנס היא שהגבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}=a_{1}{\frac {\lim \limits _{n\to \infty }(q^{n}-1)}{\lim \limits _{n\to \infty }(q-1)}}=a_{1}{\frac {0-1}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}$

ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת $a_{1}=1,q=0.5$ מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא:

$S={\frac {1}{1-0.5}}={\frac {1}{0.5}}=2$.

ראו גם

• סדרה הנדסית
• טור הנדסי

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', מהו גבול? (של סדרה), באתר "לא מדויק", 3 באוקטובר 2010