סדרה מדויקת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה , שבה כל הרכבה שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות . נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב אם מתקיים השוויון . הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב לכל i.

למשל:

  • הסדרה מדויקת אם ורק אם f הוא מונומורפיזם.
  • הסדרה מדויקת אם ורק אם f הוא אפימורפיזם.
  • ביחד, הסדרה היא מדויקת, אם ורק אם f הוא איזומורפיזם.

סדרה מדויקת קצרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה

.

סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של , שהוא .

סדרה מדויקת מתפצלת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסדרה המדויקת הקצרה

.

נקראת מתפצלת, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

  • קיים כך ש-.
  • קיים כך ש-
  • קיימת תת-חבורה כך ש-.

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק .

כאשר האובייקט הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

כאשר ההעתקה מ- ל היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ- ל היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

פונקטור מדויק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי בין שתי קטגוריות אבליות, הפונקטור נקרא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת הסדרה המתקבלת לאחר הפעלת גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.