סדרה מדויקת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה \ \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots, שבה כל הרכבה \ f_{i+1}\circ f_i שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים \ A_i יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים \,G_i ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות \,f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}. נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב \,G_i אם מתקיים השוויון \,\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i. הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב \,G_i לכל i.

למשל:

סדרה מדויקת קצרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה

\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0.

סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח \,G/H \cong N - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של i : H \hookrightarrow G, שהוא \mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i).

סדרה מדויקת מתפצלת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסדרה המדויקת הקצרה

\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0.

נקראת מתפצלת, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

  • קיים r:G \to H כך ש-r \circ i = id_H.
  • קיים q:N \to G כך ש-p \circ q = id_N
  • קיימת תת-חבורה J \subseteq G כך ש-G = im(i) \oplus J.

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק G=H \oplus N.

כאשר האובייקט N הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \mathrm{mod} 2}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

כאשר ההעתקה מ-\mathbb{Z} ל \mathbb{Z} היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ-\mathbb{Z} ל \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה 2 \mathbb{Z} איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

פונקטור מדויק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי \,F:A\rightarrow B בין שתי קטגוריות אבליות, הפונקטור \,F נקרא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, \,F הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת \, \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots הסדרה \, \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots המתקבלת לאחר הפעלת \,F גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.