סדרה מדויקת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה \ \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots, שבה כל הרכבה \ f_{i+1}\circ f_i שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים \ A_i יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים \,G_i ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות \,f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}. נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב \,G_i אם מתקיים השוויון \,\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i. הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב \,G_i לכל i.

למשל:

סדרה מדויקת קצרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה

\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0.

סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח \,G/H \cong N - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של i : H \hookrightarrow G, שהוא \mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i).

סדרה מדויקת מתפצלת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסדרה המדויקת הקצרה

\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0.

נקראת מתפצלת, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

  • קיים r:G \to H כך ש-r \circ i = id_H.
  • קיים q:N \to G כך ש-p \circ q = id_N
  • קיימת תת חבורה J \subseteq G כך ש-G = im(i) \oplus J.

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק G=H \oplus N.

כאשר האובייקט N הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \mathrm{mod} 2}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

כאשר ההעתקה מ \mathbb{Z} ל \mathbb{Z} היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ \mathbb{Z} ל \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא התת חבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה 2 \mathbb{Z} איננה מחובר ישר של אף תת חבורה. דוגמא זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

פונקטור מדויק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי \,F:A\rightarrow B בין שתי קטגוריות אבליות, הפונקטור \,F נקרא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, \,F הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת \, \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots הסדרה \, \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots המתקבלת לאחר הפעלת \,F גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.