סדרת לוקאס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה , כאשר ו- קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדוארד לוקאס.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

לאחר בחירת הקבועים P,Q, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה , ותנאי ההתחלה הקובעים את . בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה (ונוסחת הנסיגה ) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה (ונוסחת הנסיגה ) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.

למשל, היא סדרת פיבונאצ'י, הם מספרי לוקאס, היא סדרת פל, היא סדרת פל-לוקאס, הם מספרי מרסן ו- היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת[עריכת קוד מקור | עריכה]

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות: . לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא . נסמן את הדיסקרימיננטה , לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

ולכן אם שני השורשים שונים אז

ו-

ואם שני השורשים זהים, ו- כאשר מתקיים ש-.

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

, .

זהות כללית מקרה פרטי