סוגריי אייברסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סוגריי אייברסון (Iverson bracket), על שמו של המדען הקנדי קנת' אייברסון, הוא סימון המציין מספר ששווה לאחד אם תנאי מתקיים ואפס אחרת: {\displaystyle [P] = \begin{cases} 1 & \text{if } P \text{ is true;} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}} כאשר P הוא פסוק לוגי שיכול להיות נכון או לא נכון. סימון זה הוכנס לשימוש על ידי קנת' אייברסון בתחילת שנות השישים בשפת התכנות שפיתח APL, והשימוש בסוגריים מרובעים בסימון זה הוכנס לשימוש על ידי דונלד קנות'.[1]

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

סוגריי אייברסון הופכים ערך בולייאני לערך מספרי באמצעות מיפוי טבעי \textbf{false}\mapsto 0; \textbf{true}\mapsto1, אשר מאפשר ספירה באמצעות סכימה. לדוגמה פונקציית אוילר הסופרת את המספרים החיוביים עד ל־n שהם מספרים זרים ל־n, ניתנת לכתיבה כך:

 \phi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad\text{for }n\in\mathbb N^+.

באופן כללי הסימון מאפשר להעביר תנאי קצה בסכימה (או באינטגרלים) כגורמים נפרדים בסכום, ולפנות מקום סביב סימן הסכימה, וחשוב מכך מאפשר לבצע מניפולציות אלגבריות. לדוגמה,

\sum_{1\le i \le 10} i^2 = \sum_{i} i^2[1 \le i \le 10].

בסכום הראשון, האינדקס i מוגבל לטווח שבין 1 לבין 10. בסכום השני, הסכימה היא על כל השלמים, אך כאשר i הוא קטן ממש מ־1 או גדול ממש מ־10, התוספת בסכימה היא 0, ולא תורמת לסכום. שימוש כזה בסוגריי אייברסון מאפשר מניפולציה פשוטה בביטויים כאלו.

מקרים מיוחדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדלתא של קרונקר היא מקרה מיוחד של סוגריי אייברסון עבור תנאי שוויון:

\delta_{ij} = [i=j].

פונקציה מציינת, שאותה מציינים לעתים באמצעות \mathbf{1}_A(x), \mathbf{I}_A(x) או \chi_A(x) ניתנת לסימון באמצעות סוגריי אייברסון עם סימון שייכות לקבוצה:

\mathbf{I}_A(x) := [x\in A].

ניתן להשתמש בסוגריי אייברסון לסימון פונקציית סימן ופונקציית מדרגה:

 \sgn(x) = [x > 0] - [x < 0]
 H(x) = [x > 0].

ביטויים של מקסימום ומינימום מבין שני מספרים:

 \max(x,y) = x[x>y]+y[x\leq y],
 \min(x,y) = x[x\leq y]+y[x> y],

סימון ערך מוחלט:

 |x| = x[x\geq 0]-x[x<0].

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Donald Knuth, "Two Notes on Notation", American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (TeX, arXiv:math/9205211).