סופראליפסה

סופראליפסה, הידועה גם בשם עקומת לאמה (על שם המתמטיקאי הצרפתי גבריאל לאמה שתיאר אותה לראשונה כשחקר את הכללת האליפסות במאה ה-19), היא עקומה סגורה המהווה הכללה של אליפסה.

במערכת צירים קרטזית, סופראליפסה מוגדרת כקבוצת כל הנקודות (x, y) המקיימות את המשוואה

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1$

כאשר a ו-b הם מספרים חיוביים הקרויים חצאי הצירים של הסופראליפסה, ו-n הוא פרמטר חיובי הקובע את "ריבועיות" הסופראליפסה. המשוואה מגדירה עקומה סגורה הכלואה במלבן $- a \leq x \leq + a$ ו- $- b \leq y \leq + b$ .

השפעת הפרמטר n:

עבור n=2 מתקבלת אליפסה רגילה, ועבור n=2 ו-a=b מתקבל מעגל.
כאשר n > 2, הצורה נראית כמלבן עם פינות מעוגלות. ככל ש-n שואף לאינסוף, הצורה שואפת למלבן שצלעותיו הן 2a ו-2b.
כאשר n בין 1 ל-2, העקומה נראית כאליפסה מחודדת בקודקודיה.
כאשר n = 1, מתקבל מעין מעוין שקודקודיו בנקודות (±a, 0) ו- (0, ±b).
כאשר n < 1, העקומה קעורה והופכת לצורה דמוית כוכב.

בקואורדינטות קוטביות משוואת הסופראליפסה היא (קבוצת כל הנקודות (r, θ) על העקומה מקיימת את המשוואה):

$r=\left(\left|{\frac {\cos \theta }{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin \theta }{b}}\right|^{n}\!\right)^{-{\frac {1}{n}}}\!$

ניתן להציג את העקומה גם באמצעות משוואות פרמטריות

$x(\theta )=\pm a\cos ^{2/n}\theta$

$y(\theta )=\pm b\sin ^{2/n}\theta$

כאשר $0\leq \theta <2\pi$ .

מקרים מיוחדים

$0 < n < 1$	הסופראליפסה נראית כמו כוכב בעל ארבע זרועות עם צדדים קעורים (מעוקלים פנימה). עבור n = 1/2, בפרט, כל אחת מארבע הקשתות היא קטע של פרבולה. אסטרואידה הוא המקרה הפרטי a = b, n = 2/3	סופראליפסה עם a = b = 1, n = 1/2
$n = 1$	העקומה היא מעוין עם פינות $(\pm a, 0)$ ו- $(0, \pm b)$ .
$1 < n < 2$	העקומה נראית כמו מעוין עם אותן פינות אך עם צלעות קמורות (מעוקלות כלפי חוץ). העקמומיות גדלה ללא הגבלה ככל שמתקרבים לנקודות הקיצוניות שלה.	סופראליפסה עם $n = 3/2$ , $a = b = 1$
$n = 2$	העקומה היא אליפסה רגילה (בפרט, עיגול כאשר a = b).
$n > 2$	העקומה נראית כמלבן עם פינות מעוגלות. העקמומיות היא אפס בנקודות $(\pm a, 0)$ ו- $(0, \pm b)$ .	סופראליפסה עם $n = 4$ , $a = b = 1$

נוסחאות מתמטיות

שטח

השטח של סופראליפסה ניתן על ידי הנוסחה

${\text{Area}}=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\frac {2}{n}}\right)}}$

כאשר $\Gamma$ היא פונקציית גמא.

במונחי פונקציית בטא:

${\text{Area}}={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right)$

היקף

היקף של סופר-אליפסה כללית, כמו זה של אליפסה, אינו ניתן לביטוי במונחים של פונקציות אלמנטריות. קיימים פתרונות מדויקים להיקף של סופר-אליפסה באמצעות טורים אינסופיים;^[1] ניתן לקטום אותם כדי לקבל פתרונות מקורבים. אינטגרציה נומרית היא אפשרות נוספת לקבלת אומדני היקף בדיוק רצוי.

קירוב המתקבל באמצעות רגרסיה סימבולית (אנג') הוא אפשרות המאזנת בין יעילות ודיוק. ניקח סופראליפסה שמרכזה בראשית הצירים של מישור דו-ממדי. דמיינו שהסופראליפסה (עם פרמטר הצורה n) נמתחת כך שהרביע הראשון (כאשר $x > 0$ , $y > 0$ ) הוא קשת מ- $(1, 0)$ עד $(0, h)$ , כאשר h ≥ 1. לאחר מכן, אורך הקשת של הסופראליפסה בתוך אותו רביע יחיד מקורב כפונקציה הבאה של h ו-n:

h + (((((n - 0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

קירוב אורך קשת זה, ברביע יחיד, מדויק עד לטווח של ±0.2% עבור כל הערכים של n, וניתן להשתמש בו כדי להעריך ביעילות את ההיקף הכולל של סופראליפסה.

שימושים

גופן "Melior" (אנג') מאת הרמן זאפף (אנג'), שפורסם בשנת 1952, משתמש בסופראליפסות עבור אותיות כמו O. שלושים שנה לאחר מכן, דונלד קנות' בנה את היכולת לבחור בין אליפסות לסופראליפסות (שתיהן מקורבות) במשפחת הגופנים "Computer Modern" (אנג') שלו.

מי שהביא את הצורה לתודעה הציבורית הרחבה היה המדען והמעצב הדני פיט היין. היין חיפש צורה שתהיה פשרה אסתטית ופונקציונלית בין העיגול לריבוע עבור תכנון עירוני בסטוקהולם. הוא השתמש בסופראליפסה עם n=2.5 ו-a/b=6/5 לשם עיצוב כיכר סרגלס (אנג'). הצורה נבחרה כיוון שהיא מאפשרת זרימת תנועה חלקה יותר מאשר מלבן, ומנצלת את השטח טוב יותר מאשר אליפסה.^[2] כיכר סרגלס הושלמה בשנת 1967. פיט היין המשיך להשתמש בסופראליפסה בחפצים אחרים, כגון מיטות, צלחות, שולחנות וכו'.^[3] על ידי סיבוב סופראליפסה סביב הציר הארוך ביותר, הוא יצר את הסופרביצה (אנג'), צורה מוצקה דמוית ביצה שיכולה לעמוד זקופה על משטח ישר, ושווקה כצעצוע חדשני.^[2]^[4]

כיום נעשה שימוש נרחב בסופראליפסות בעיצוב תעשייתי ובממשקי משתמש דיגיטליים. כנראה שהשימוש המוכר ביותר הוא בעיצוב האייקונים במערכות הפעלה מודרניות. מעצבים מעדיפים את הסופראליפסה על פני מלבן עם פינות מעוגלות (שאריות של קשתות מעגליות), משום שהשינוי בעקמומיות בסופראליפסה הוא רציף והדרגתי יותר, מה שיוצר מראה "אורגני" ונעים יותר לעין. באדריכלות של אמריקה הצפונית ובאירופה ניתן למצוא מבנים המבוססים על גרסאות תלת-ממדיות של הצורה, המכונות סופראליפסואידים.

הכללות

ממדים גבוהים יותר

ההכללות של הסופראליפסה בממדים גבוהים יותר שומרות על המבנה המתמטי הבסיסי של הסופראליפסה תוך התאמתה להקשרים ויישומים שונים.^[5]

סופראליפסואיד מרחיב את הסופראליפסה לשלושה ממדים, ויוצר צורות הנעות בין אליפסואידים למוצקים מלבניים בעלי קצוות מעוגלים. הסופראליפסואיד מוגדר כקבוצת כל הנקודות $(x, y, z)$ המקיימות את המשוואה $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1$ כאשר $a$ , $b$ , $c$ הם מספרים חיוביים שהם חצאי הצירים של הסופראליפסואיד, ו- $n$ הוא הפרמטר החיובי שקובע את הצורה של הסופראליפסואיד.

היפראליפסואיד הוא האנלוג ה-d-ממדי של אליפסואיד (ובהרחבה, סופראליפסואיד). הוא מוגדר כקבוצת כל הנקודות $(x 1, x 2, \dots, x d)$ המקיימות את המשוואה $\left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\cdots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1$ כאשר $a 1, a 2, \dots, a d$ הם מספרים חיוביים שהם חצאי הצירים של ההיפראליפסואיד, ו- $n$ הוא הפרמטר החיובי שקובע את הצורה של ההיפראליפסואיד.^[6]

חזקות שונות

שימוש בחזקות שונות לכל איבר במשוואה, מאפשר גמישות רבה יותר ביצירת הצורה.^[7]

במקרה הדו-ממדי המשוואה היא $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1\quad m,n>0$ כאשר $m$ שווה ל- $n$ או שונה ממנו. כאשר $m = n$ זו הסופראליפסה של לאמה, המתוארת בתחילת ערך זה. כאשר $m \neq n$ לעקומה יש גמישות התנהגותית רבה יותר, והיא מתאימה יותר לתיאור מידע ניסיוני כלשהו.^[6]

למקרה התלת-ממדי ניתן להשתמש בשלוש חזקות חיוביות שונות $m$ , $n$ , $p$ במשוואה $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1$ . כאשר $m = n = p$ מתקבל סופראליפסואיד. כאשר שתיים או שלוש חזקות שונות זו מזו, מתקבל גוף תלת-ממדי שעשוי להיות בעל גמישות רבה יותר בייצוג נתונים מבניים אמיתיים מאשר סופראליפסואיד. סופראליפסואיד תלת-ממדי עם $m = n = 2.2$ , $p = 2.4$ וחצאי צירים $a = b = 1$ , $c = 0.5$ משקף את המבנה של המרכז הלאומי לאמנויות הבמה (אנג') בסין.

במקרה הכללי ה- $N$ -ממדי, המשוואה היא $\left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n_{2}}\!+\cdots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{n_{N}}\!=1$ כאשר $n 1, n 2, \dots, n N$ יכולים להיות שונים זה מזה. זהו היפראליפסואיד רק כאשר $n i$ שווים זה לזה.^[6]

שינוי אנאיזוטרופי

שינוי אנאיזוטרופי כרוך בשינוי קנה מידה (סילום) של הצורה באופן שונה לאורך צירים שונים, ובכך מספק שליטה נוספת על הגאומטריה. גישה זו ניתנת ליישום על סופראליפסות, סופראליפסואידים והאנלוגים שלהן בעלי ממדים גבוהים יותר, כדי לייצר מגוון רחב יותר של צורות ולהתאים טוב יותר לדרישות ספציפיות ביישומים כגון גרפיקה ממוחשבת, הנדסת מבנים וויזואליזציה של נתונים (אנג'). לדוגמה, שינוי אנאיזוטרופי מאפשר יצירת צורות שיכולות למדל עצמים מהעולם האמיתי בצורה מדויקת יותר על ידי התאמת הפרופורציות לאורך כל ציר באופן עצמאי.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סופראליפסה בוויקישיתוף

סופראליפסה, באתר MathWorld (באנגלית)
Lame Curves, MacTutor

הערות שוליים

↑ "Superellipse (Lame curve)" (PDF). אורכב מ-המקור (PDF) ב-31 במרץ 2022.
1 2 Gardner, Martin (1977), "Piet Hein's Superellipse", Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press, pp. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
↑ The Superellipse, in The Guide to Life, The Universe and Everything by BBC (27 June 2003)
↑ Robert D. Poodiack (באפריל 2016). "Squigonometry, Hyperellipses, and Supereggs". Mathematics Magazine. 89 (2): 100–101. doi:10.4169/math.mag.89.2.92. JSTOR 10.4169/math.mag.89.2.92. S2CID 123959015.
↑ Boult, Terrance E.; Gross, Ari D. (1988-02-19). "Recovery of Superquadrics from 3-D Information". In Casasent, David P.; Hall, Ernest L. (eds.). Intelligent Robots and Computer Vision VI. SPIE Proceedings. Vol. 0848. SPIE. p. 358. Bibcode:1988SPIE..848..358B. doi:10.1117/12.942759.
1 2 3 Ni, B. Y.; Elishakoff, I.; Jiang, C.; Fu, C. M.; Han, X. (2016-11-01). "Generalization of the super ellipsoid concept and its application in mechanics". Applied Mathematical Modelling. 40 (21): 9427–9444. doi:10.1016/j.apm.2016.06.011. ISSN 0307-904X.
↑ Cheng, Xinyu; Li, Chengbo; Peng, Yixue; Zhao, Chuang (2021-04-17). "Discrete element simulation of super-ellipse systems". Granular Matter (באנגלית). 23 (2): 50. doi:10.1007/s10035-021-01107-4. ISSN 1434-7636.

[1] "Superellipse (Lame curve)" (PDF). אורכב מ-המקור (PDF) ב-31 במרץ 2022.

[גרדנר-2] 1 2 Gardner, Martin (1977), "Piet Hein's Superellipse", Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press, pp. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5

[3] The Superellipse, in The Guide to Life, The Universe and Everything by BBC (27 June 2003)

[4] Robert D. Poodiack (באפריל 2016). "Squigonometry, Hyperellipses, and Supereggs". Mathematics Magazine. 89 (2): 100–101. doi:10.4169/math.mag.89.2.92. JSTOR 10.4169/math.mag.89.2.92. S2CID 123959015.

[5] Boult, Terrance E.; Gross, Ari D. (1988-02-19). "Recovery of Superquadrics from 3-D Information". In Casasent, David P.; Hall, Ernest L. (eds.). Intelligent Robots and Computer Vision VI. SPIE Proceedings. Vol. 0848. SPIE. p. 358. Bibcode:1988SPIE..848..358B. doi:10.1117/12.942759.

[הכללה-6] 1 2 3 Ni, B. Y.; Elishakoff, I.; Jiang, C.; Fu, C. M.; Han, X. (2016-11-01). "Generalization of the super ellipsoid concept and its application in mechanics". Applied Mathematical Modelling. 40 (21): 9427–9444. doi:10.1016/j.apm.2016.06.011. ISSN 0307-904X.

[7] Cheng, Xinyu; Li, Chengbo; Peng, Yixue; Zhao, Chuang (2021-04-17). "Discrete element simulation of super-ellipse systems". Granular Matter (באנגלית). 23 (2): 50. doi:10.1007/s10035-021-01107-4. ISSN 1434-7636.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]