עקום המומנטים

עקום המומנטים במרחב התלת-ממדי (בירוק). העקום מתקבל כחיתוך של המשטח $(t,t^{2},s)$ עם המשטח $(t,s,t^{3})$ (הצירים בתמונה נוטים ב-90 מעלות למקובל).

במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה-n-ממדי המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה $(t,t^{2},\ldots ,t^{n})$ לכל $t$ ממשי. למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.

כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים בלכל היותר n נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).

תכונות

על-מישור במרחב ה-n-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה $H_{\mathbf {a} ,d}=\{\mathbf {x} :(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )=d\}=\{(x_{1}\ldots ,x_{n}):a_{1}x_{1}+\ldots a_{n}x_{n}=d\}$, כאשר $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})$ וקטור כיוון ו-d סקלר קבועים. אם $t$ מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה t חותך את העל-מישור $H_{\mathbf {a} ,d}$ אז מתקיים: $a_{1}t+\ldots +a_{n}t^{n}=d$. זוהי משוואה פולינומית ממעלה n ולכן יש לה לכל היותר n פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור בלכל היותר n נקודות.

אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק n נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.

עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שאפשר לחלק גוף n-ממדי עם n על-מישורים. n על-מישורים חותכים את עקום המומנטים בלכל היותר $n^{2}$ נקודות, ולכן מחלקים אותו ללכל היותר $n^{2}+1$ חלקים. בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-n-ממדי ל-$2^{n}$ חלקים שווים במסתם באמצעות n על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים. במישור ניתן באמצעות משפט הסנדוויץ'. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע ממדי עודנה פתוחה. לכל $5\leq n$ הדבר לא אפשרי, כי $n^{2}+1<2^{n}$ ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.

ראו גם

• הלמה של גייל