עקרון הארגומנט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, עקרון הארגומנט מקשר בין מספר הקטבים והאפסים של פונקציה מרומורפית בתחום מסוים ובין השינוי בארגומנט שלה בעת מעבר על שפת התחום. עקרון זה הוא תוצאה חשובה של משפט השארית.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

המסילה \ \partial D (שחור), האפסים של f (אדום), והקטבים של f (כחול)

תהא \ f פונקציה מרומורפית (בעלת מספר סופי של נקודות סינגולריות שכולן קטבים) בתחום \ D כלשהו ששפתו \ \partial D היא מסילה פשוטה וסגורה, שעליה f לא מקבלת אפסים וקטבים. אז מתקיים \ \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}dz=N-P, כאשר \ N הוא מספר האפסים של \ f, כולל ריבוי, ואילו \ P הוא מספר הקטבים של \ f, כולל ריבוי.

כמו כן, \ 2\pi (N-P)=\Delta \arg{f}, כאשר \ \Delta \arg{f} הוא גודל השינוי בארגומנט של \ f כאשר היא מקיפה את התחום \ D על גבי שפתו.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה כי \ \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}dz=N-P.

לשם כך נשתמש במשפט השארית. כדי לחשב את האינטגרל, די לחשב את סכום השאריות של הפונקציה\ \frac{f'(z)}{f(z)} בכל נקודות הסינגולריות שלה בתחום \ D.

מכיוון ש-\ f מרומורפית, לפונקציה \ \frac{f'(z)}{f(z)} יכולים להיות רק שני סוגים של נקודות סינגולריות: קטבים של \ f ואפסים של \ f.

באפס \ a\isin D מריבוי \ n של \ f מתקיים \ f(z)=(z-a)^n\cdot g(z), כאשר \ g(z)\ne 0 והולומורפית בסביבה של \ a.

על כן: f'(z)=n(z-a)^{n-1}g(z)+(z-a)^n g'(z) ו-

\ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{n}{z-a} + \frac{g'(z)}{g(z)}.

המחובר הימני הוא פונקציה הולומורפית, ולכן בפיתוח לטור נקבל טור טיילור (כלומר מקדם השארית הוא 0). המחובר השמאלי הוא בדיוק האיבר שהמקדם שלו בטור לורן הוא השארית, ולכן בסך הכול השארית של הפונקציה סביב \ a היא \ n. כלומר: השארית סביב אפס כלשהו היא הריבוי של אותו האפס.

עבור קוטב הרעיון דומה: בקוטב \ b \in D מריבוי \ m של \ f מתקיים \ f(z)=(z-b)^{-m}\cdot h(z), כאשר \ h(z)\ne 0 והולומורפית בסביבה של \ b. מתקיים

f'(z)=-m(z-b)^{-m-1}h(z)+(z-b)^{-m}h'(z)

ועל כן

\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{-m}{z-b}+\frac{h'(z)}{h(z)}

ולכן השארית שנקבל הפעם היא מינוס הריבוי של הקוטב.

על כן, סכום השאריות בכל הקטבים והאפסים ייתן בדיוק את סכום ריבויי האפסים פחות סכום ריבויי הקטבים.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ f(z)= \frac{(z+3)(z+1)}{z^2}, צריך לחשב את \ \int_{|z|=2} \frac{f'(z)}{f(z)}

נשים לב כי האפסים של \ f(z) הם \ z=-1 ו-\ z=-3. מתוך האפסים האלו, רק \ z=-1 נמצא בתוך העיגול:\ \left\{z|\left| z \right|=2\right\} , כמו כן הוא "אפס פשוט". לכן: \ N=1

נשים לב גם כי יש ל: \ f(z) רק קוטב אחד והוא: \ z=0. זהו קוטב מסדר שני. לכן: \ P=2.

מסקנה (לפי עקרון הארגומנט): \ \int_{|z|=2} \frac{f'(z)}{f(z)}=2\pi i(N-P)=2\pi i(1-2)=-2\pi i

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה