עקרון היהלום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת הקבוצות, עקרון היהלום הוא אקסיומה קומבינטורית בתורת הקבוצות האקסיומטית, שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל (אפילו עם אקסיומת הבחירה). האקסיומה חזקה מספיק על מנת להוכיח את השערת הרצף המוכללת.

קבוצות סגורות ולא חסומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מונה, קבוע מכאן ולהבא. תת-קבוצה היא סגורה אם לכל סודר שעבורו מתקיים . קבוצה היא סל"ח אם היא סגורה ולא חסומה ב- . חיתוך של משפחה של פחות מ- של סל"חים הוא סל"ח.

קבוצות שבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת שבת של הסודר היא קבוצה S החותכת כל סל"ח באופן לא ריק (לכן אפשר לחשוב על קבוצת שבת כעל קבוצה ממידה חיובית). קבוצה מהווה קבוצת שבת אם ורק אם יש "פונקציה דוחסת" (היינו פונקציה כך שתמיד ) ש-S היא קבוצת נקודות השבת שלה.

עקרון היהלום[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור קבוצת שבת S, העקרון קובע שקיימת משפחה של קבוצות כך שלכל קבוצה קיים כך ש-.

העקרון נעשה חזק יותר ככל ש-S קטנה יותר: אם שתיהן קבוצות שבת, אז . עם זאת, אפילו העקרון החלש ביותר, , אינו נובע מאקסיומות ZFC (אקסיומות צרמלו-פרנקל עם אקסיומת הבחירה).

לכל מונה , אם מתקיים לאיזושהי קבוצת שבת , אז . שהרן שלח הוכיח את הטענה ההפוכה: אם , אז מתקיים לכל קבוצת שבת , כאשר היא הקופינליות של x.