עקרון המקסימום של האוסדורף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.

עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתורת הקבוצות.

ניסוח שקול[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל קבוצה סדורה חלקית קיימת שרשרת מקסימלית.

על מנת להוכיח שניסוח זה נובע מעקרון המקסימום, נניח כי A היא קבוצה סדורה חלקית. אזי \varnothing מהווה שרשרת ב-A, כלומר קיימת שרשרת מקסימלית ב-A המכילה את \varnothing, ובפרט ב-A קיימת שרשרת מקסימלית.

בכוון השני, תהא A קבוצה סדורה חלקית, ותהא T \subseteq A שרשרת. נתבונן באוסף השרשראות S המקיימות T \subseteq S \subseteq A. אוסף זה מהווה קבוצה סדורה חלקית עם יחס סדר של הכלה, מכאן שהוא מכיל שרשרת מקסימלית C. הקבוצה M=\bigcup C, אם כן, היא שרשרת מקסימלית המכילה את T, כנדרש.

באופן דומה ניתן להוכיח כי עקרון המקסימום של האוסדורף שקול ללמה של צורן.