עקרון המקסימום של האוסדורף
במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עיקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.
עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתורת הקבוצות.
ניסוח שקול
[עריכת קוד מקור | עריכה]בכל קבוצה סדורה חלקית קיימת שרשרת מקסימלית.
על מנת להוכיח שניסוח זה נובע מעקרון המקסימום, נניח כי A היא קבוצה סדורה חלקית. אזי מהווה שרשרת ב-A, כלומר קיימת שרשרת מקסימלית ב-A המכילה את , ובפרט ב-A קיימת שרשרת מקסימלית.
בכיוון השני, תהא A קבוצה סדורה חלקית, ותהא שרשרת. נתבונן באוסף השרשראות S המקיימות . אוסף זה מהווה קבוצה סדורה חלקית עם יחס סדר של הכלה, מכאן שהוא מכיל שרשרת מקסימלית C. איחוד איברי C, אם כן היא שרשרת מקסימלית המכילה את T, כנדרש.
באופן דומה ניתן להוכיח כי עקרון המקסימום של האוסדורף שקול ללמה של צורן.
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |