עקרון המקסימום (תורת הפוטנציאל)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, במיוחד בתורת הפוטנציאל, עקרון המקסימום הוא תכונה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסוימות, ספציפית מהטיפוס האליפטי והפרבולי. באופן כללי, העקרון טוען כי המקסימום של פונקציית הפתרון בתחום נתון מושג תמיד על השפה של התחום. באופן ספציפי יותר, עקרון המקסימום החזק גורס כי אם המקסימום של פונקציה מושג בפנים התחום, אז היא חייבת להיות קבועה בתחום. עקרון המקסימום החלש טוען, לעומת זאת, שאמנם ערך המקסימום חייב להימצא על שפת התחום, אך הוא עשוי להופיע מחדש בפנים התחום פעמים נוספות.

המשפט הוא במובן מסוים מסקנה ממשפט הערך הממוצע של גאוס.

לעקרון יש השלכות פיזיקליות מעניינות, שכן הפוטנציאל החשמלי בריק מקיים את משוואת לפלס, ולכן נובע ממנו כי לא ניתן ללכוד חלקיק טעון בשיווי משקל יציב על ידי שדות אלקטרוסטטיים (שדות נייחים), אם כי ניתן ללכוד אותו בריק באמצעות שדות אלקטרודינמיים (ראו גם מלכודת פאול).

הדוגמה הקלאסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציות הרמוניות הן דוגמה קלאסית לה עקרון המקסימום החזק תקף. באופן פורמלי, אם f היא פונקציה הרמונית, אז f לא יכולה להיות בעלת מקסימום מקומי מובהק בתוך תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה. במילים אחרות, או ש-f היא פונקציה קבועה, או שבעבור כל נקודה נתונה בפנים התחום, קיימות נקודות אחרות הקרובות באופן שרירותי ל- שהפונקציה f מקבלת בהן ערכים גדולים יותר:

תהי f פונקציה הרמונית המוגדרת על תת-קבוצה קשירה פתוחה D של המרחב האוקלידי Rn. אם היא נקודה ב-D כך ש-:

בעבור כל הנקודות x בסביבת הנקודה , אז הפונקציה f היא קבועה על D.

היוריסטיקה לנכונות הטענה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרף של פונקציה הרמונית המוגדרת על עיגול היחידה עשוי להיראות למשל ככה. ניתן לראות שמשטח הפונקציה הוא "דמוי אוכף" בכל מקום.

עקרון המקסימום החלש בעבור פונקציות הרמוניות הוא מסקנה פשוטה מן החשבון האינפיניטסימלי הקשור בפתרון משוואת לפלס. המרכיב המרכזי בהוכחה הוא העובדה שלפי ההגדרה של פונקציות הרמוניות, הלפלסיאן של f הוא אפס. לפיכך, עבור פונקציות המוגדרות על תחום מישורי, כל נקודה קריטית של f היא בהכרח נקודת אוכף (משטח קמור-קעור); אחרת לא ייתכן שסכום הנגזרות השניות של f יהיה אפס (שתי הנגזרות השניות חייבות להיות בעלות סימן מנוגד). עבור פונקציות המוגדרות על מרחב מממד גבוה יותר מקבלים שלפחות שתי נגזרות שניות (לפי שתי קואורדינטות שונות) הן בעלות סימן מנוגד.

עקרון המקסימום החזק נשען על למת הופף, וההיוריסטיקה לו מסובכת יותר.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]