פולינומי צ'בישב

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון $T_{0}(x),T_{1}(x),\ldots$ , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני $U_{0}(x),U_{1}(x),\ldots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p(x)$ מקיים את האי-שוויון $\max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}$ , והפולינומים $2^{1-n}T_{n}(x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

סימונים ומוסכמות

בערך זה נסמן ב- $\mathbb {N}$ את קבוצת המספרים הטבעיים החל מ-1, וכן נסמן $\mathbb {N} _{0}:=\mathbb {N} \cup \left\{0\right\}$ , כלומר קבוצת המספרים הטבעיים ואפס.

כמו כן, נסמן ב- $\mathbb {Z}$ ,‏ $\mathbb {Q}$ , ‏ $\mathbb {R}$ ו- $\mathbb {C}$ את קבוצות המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.

לבסוף, כלל הפונקציות הטריגונומטריות בערך זה מחושבות ברדיאנים.

מבוא ומוטיבציה

באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי לכל מספר טבעי $k\in \mathbb {N}$ ולכל זווית ממשית $\theta \in \mathbb {R}$ מתקיימות הזהויות הבאות:

$\cos((k+1)\theta )=\cos(k\theta +\theta )=\cos(k\theta )\cos \theta -\sin(k\theta )\sin \theta$

$\cos((k-1)\theta )=\cos(k\theta -\theta )=\cos(k\theta )\cos \theta +\sin(k\theta )\sin \theta$

על-ידי סכימת שתי המשוואות והעברת אגפים מתקבל כי:

$\cos((k+1)\theta )=2\cos(k\theta )\cos \theta -\cos((k-1)\theta )$

זהות זו, ביחד עם העובדה כי $\cos(0\cdot \theta )=1$ מעידה על כך שכל פונקציה מהצורה $\cos(n\theta )$ עבור $n\in \mathbb {N}$ ניתנת לחישוב כצירוף ליניארי של חזקות של $\cos \theta$ .

כלומר, לכל $n\in \mathbb {N}$ קיים פולינום במקדמים שלמים $T_{n}(x)\in \mathbb {Z} [x]$ כך שלכל $\theta \in \mathbb {R}$ מתקיים השוויון $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$ .

פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון.

באופן זהה, בעקבות הזהות $\sin((k+1)\theta )=2\sin(k\theta )\cos \theta -\sin((k-1)\theta )$ , ניתן להוכיח כי לכל $n\in \mathbb {N}$ קיים פולינום במקדמים שלמים $U_{n}(x)\in \mathbb {Z} [x]$ כך שמתקיים שלכל $\theta \in \mathbb {R}$ השוויון $U_{n}(\cos(\theta ))\sin \theta =\sin((n+1)\theta )$ .

פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג השני.

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$ , שבגללה $T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}$ לכל $x$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)\end{aligned}}

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- $n$ -י היא $n$ .

מן ההגדרה נובע כי $T_{n}(T_{m}(x))=T_{nm}(x)$

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k\,=\,0}^{\lfloor 0.5n\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

\sum _{n\,=\,0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}

מתקיים גם השוויון $T_{n}(x)=1+n^{2}(x-1)\prod _{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+{\frac {x-1}{2\sin \!{\bigl (}{\frac {k\pi }{n}}{\bigr )}^{2}}}\right)$ .

פולינומי צ'בישב $\{T_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $\langle f_{1},f_{2}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)dx$ .

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני

כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית $U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}$

בנוסף, קיימת נוסחת הנסיגה הבאה: ${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$ אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש $U_{1}(x)=2x$ ולעומת זאת, $T_{1}(x)=x$ .

רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים

להלן רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים משני הסוגים:


$U_{n}(x)$	$T_{n}(x)$	$n$
$1$	$1$	$n=0$
$2x$	$x$	$n=1$
$4x^{2}-1$	$2x^{2}-1$	$n=2$
$8x^{3}-4x$	$4x^{3}-3x$	$n=3$
$16^{4}-12x^{2}+1$	$8x^{4}-8x^{2}+1$	$n=4$
$32x^{5}-32x^{3}+6x$	$16x^{5}-20x^{3}+5x$	$n=5$
$64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1$	$32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1$	$n=6$

תכונות וזהויות

זוגיות ואי-זוגיות

לכל מספר טבעי $n\in \mathbb {N}$ ולכל מספר ממשי $x\in \mathbb {R}$ מתקיים ש:

$T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)$

$U_{n}(-x)=(-1)^{n}U_{n}(x)$

כלומר, פולינומי צ'בישב הם פונקציות זוגיות עבור $n$ זוגי ואי-זוגיות עבור $n$ אי-זוגי.

זהויות טריגונומטריות והיפרובוליות

לכל $n\in \mathbb {N}$ ולכל $\theta \in \mathbb {R}$ פולינומי צ'בישב מקיימים את הזהויות הטריגונומטריות:

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$

$U_{n}(\cos(\theta ))\sin \theta =\sin((n+1)\theta )$

על-ידי החלפת $\theta$ ב- $i\theta$ ניתן להוכיח כי מתקיימות הזהויות הבאות עבור הפונקציות ההיפרבוליות:

$T_{n}(\cosh(\theta ))=\cosh(n\theta )$

$U_{n}(\cosh(\theta ))\sinh \theta =\sinh((n+1)\theta )$

נגזרות

הנגזרות של פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הבאות:

${\frac {dT_{n}(x)}{dx}}=nU_{n-1}(x)$

${\frac {dU_{n}(x)}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}(x)-xU_{n}(x)}{x^{2}-1}}$

ערכים מיוחדים

ערכים ידועים

ניתן להוכיח כי לכל $n\in \mathbb {N}$ , הפולינומים $T_{n}(x)$ ו- $U_{n}(x)$ מקבלים את הערכים הבאים:


$U_{n}(x)$	$T_{n}(x)$	$x$
$U_{n}(1)=n+1$	$T_{n}(1)=1$	$x=1$
$U_{2n-1}(1)=0$	$T_{2n-1}(1)=0$	$x=0$
$U_{2n}(1)=(-1)^{n}$	$T_{2n}(1)=(-1)^{n}$	$x=0$
$U_{n}(-1)=(n+1)\cdot (-1)^{n}$	$T_{n}(-1)=(-1)^{n}$	$x=-1$

שורשים

באמצעות הזהות הטריגונומטרית $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$ , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס $\cos \theta$ הם מהצורה $\theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k$ לכל $k\in \mathbb {Z}$ , עולה כי השורשים של הפולינום $T_{n}(x)$ הם $x_{k}:=\cos \left({\frac {1+2k}{2n}}\cdot \pi \right)$ עבור $k=0,1,2,\dots ,n-1$ . לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום מדרגה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים, ולכן אלו הם בדיוק כל השורשים של הפולינום $T_{n}(x)$ .

באופן דומה, מאחר שמתקיימת הזהות הטריגונומטרית $U_{n}(\cos(\theta ))\sin \theta =\sin((n+1)\theta )$ , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס $\sin \theta$ הם מהצורה $\theta =\pi k$ לכל $k\in \mathbb {Z}$ , עולה כי השורשים של הפולינום $U_{n}(x)$ הם $x_{k}:=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\cdot \pi \right)$ עבור $k=1,2,\dots ,n$ . גם כאן מדובר בכל השורשים של הפולינום $U_{n}(x)$ .

ערכי קיצון

באמצעות העובדה כי ${\frac {dT_{n}(x)}{dx}}=nU_{n-1}(x)$ , ערכי הקיצון של הפולינום $T_{n}(x)$ נמצאים ב- $x_{k}:=\cos \left({\frac {k}{n}}\cdot \pi \right)$ עבור $k=1,2,\dots ,n-1$ . בנקודות אלו $T_{n}(x_{k})=(-1)^{k}$ . אם מוסיפים לכך ש- $T_{n}(1)=1$ וש- $T_{n}(-1)=(-1)^{n}$ עולה כי בתחום $-1\leq x\leq 1$ , כל פולינומי צ'בישב חסומים בין $-1$ ל- $1$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos(\theta )$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]$ , ובפרט הממד ${\bigl [}\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]{\bigr ]}\leq n$ . אם בוחרים $\theta ={\frac {\pi }{2n}}$ מתקבל $T_{n}(\cos(\theta ))=0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right)$ .

שימושים

הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות

בהינתן מספר רציונלי $r\in \mathbb {Q}$ ניתן להשתמש בפולינומי צ'בישב כדי להוכיח ש- ${\displaystyle \alpha$ הוא מספר אלגברי. מאחר ש- $r$ רציונלי, קיימים $p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N}$ כך ש- $r={\frac {p}{q}}$ . לכן: