לדלג לתוכן

פולינומי צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
T1, T2, T3, T4, T5

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן מקיים את האי-שוויון , והפולינומים הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת פולינומי צ'בישב מסוג ראשון הראשונים הם:

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון

[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה , שבגללה לכל . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה--י היא .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

מן ההגדרה נובע כי

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה

ולקבל את הפונקציה היוצרת

מתקיים גם השוויון .

פולינומי צ'בישב מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת .

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני

[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית

בנוסף, קיימת הנוסחת הנסיגה הבאה: אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש ולאומת זאת, .

מכך שמעלת היא נובע כי פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה , ובפרט הממד . אם בוחרים מתקבל , ולעיתים קרובות הוא הפולינום המינימלי של .

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף