מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
T1 , T2 , T3 , T4 , T5 סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים ,
T
0
(
x
)
,
T
1
(
x
)
,
…
{\displaystyle T_{0}(x),T_{1}(x),\dots }
פפנוטי צ'בישב , כל פולינום ממשי מתוקן
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
max
−
1
≤
x
≤
1
|
p
(
x
)
|
≥
2
1
−
n
{\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}}
2
1
−
n
T
n
(
x
)
{\displaystyle 2^{1-n}T_{n}(x)}
ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה
T
n
(
cos
θ
)
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}
T
n
(
x
+
x
−
1
)
=
x
n
+
x
−
n
{\displaystyle T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}}
x
{\displaystyle x}
הגדרה רקורסיבית :
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,\!}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,\!}
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,\!}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
(
x
)
)
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
x
)
)
,
x
≥
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
−
x
)
)
,
x
≤
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}
מן ההגדרה נובע ש-
T
n
(
T
m
(
x
)
)
=
T
n
⋅
m
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(T_{m}(x))=T_{n\cdot m}(x)\,\!}
וכן
T
n
(
1
)
=
1
,
T
n
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
,
T
2
n
+
1
(
0
)
=
0
,
T
2
n
(
0
)
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\,}
באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה
T
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
(
x
−
x
2
−
1
)
n
2
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}
ולקבל את ה
פונקציה היוצרת
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
=
1
−
t
x
1
−
2
t
x
+
t
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}
מתקיים גם השוויון
T
n
(
x
)
=
1
+
n
2
(
x
−
1
)
∏
k
=
1
n
−
1
(
1
+
x
−
1
2
sin
2
(
k
π
n
)
)
{\displaystyle T_{n}(x)=1+n^{2}{(x-1)}\prod _{k=1}^{n-1}\left({1+{{x-1} \over 2\sin ^{2}\left({k\pi \over n}\right)}}\right)}
פולינומי צ'ביצ'ב
{
T
n
}
n
=
0
∞
{\displaystyle \left\{T_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }}
מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת
⟨
f
1
,
f
2
⟩
=
∫
−
1
1
1
1
−
x
2
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx}
מכך שמעלת
T
n
{\displaystyle T_{n}}
n
{\displaystyle n}
cos
(
θ
)
{\displaystyle \cos(\theta )}
Q
[
cos
(
n
θ
)
]
{\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]}
[
Q
[
cos
(
θ
)
]
:
Q
[
cos
(
n
θ
)
]
]
≤
n
{\displaystyle [\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]]\leq n}
θ
=
π
2
n
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}}
T
n
(
cos
θ
)
=
0
{\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=0}
T
n
{\displaystyle T_{n}}
cos
(
π
2
n
)
{\displaystyle \cos({\frac {\pi }{2n}})}
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e04cd2a79ed30188c173e0d47a7a69846d8366)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e2e1e6f46fcf39209bedf8e3d567ad5e4f4667)
![{\displaystyle [\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]]\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0caadea3eac87d8b7e60b3ae01131467808704)
