פולינומי צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
T1, T2, T3, T4, T5

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן מקיים את אי-השוויון , והפולינומים הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

הגדרה ותכונות יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: , ו- . מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה--י היא .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

מן ההגדרה נובע ש-

,

וכן

.

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

ולקבל את הפונקציה היוצרת

.

מתקיים גם השוויון .

פולינומי צ'ביצ'ב מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת .

השלכות לבניות גאומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכך שמעלת היא n נובע כי פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה , ובפרט הממד . אם בוחרים מתקבל , ולעתים קרובות הוא הפולינום המינימלי של .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף