פונקציה דיפרנציאבילית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב לינארי (דיפרנציאל).

פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד אינה אלא פונקציה גזירה. עם זאת, בפונקציות של כמה משתנים, אלו הן תכונות שונות: לפונקציה יכולה להיות נגזרת (שאינה אלא וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא פונקציה ב- משתנים. הפונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה אם אפשר לכתוב , כאשר קבועים, ו- פונקציות השואפות לאפס כאשר שואף לאפס.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב- משתנים, כשהמקדמים הם . זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות ) קטנות מאוד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה.

משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים בקירוב הלינארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: .

קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.