פונקציה לוגיסטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
פונקציה לוגיסטית סיגמואידית

פונקציה לוגיסטית או עקום לוגיסטי היא סיגמואיד המוגדר על ידי הפונקציה:

כאשר

זוהי פונקציה ממשית דיפרנציאבילית (ובפרט רציפה וגזירה) בעלת נגזרת אי-שלילית.

הפונקציה קיבלה את שמה בשנים 1844–1845 על ידי המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט שחקר אותה בהקשר של גידול אוכלוסייה. השלב הראשוני הוא בערך אקספוננציאלי, בהמשך כאשר מגיעים לרוויה הגידול קטן עד לעצירה. לפונקציה הלוגיסטית שימושים בתחומים מגוונים בהם סטטיסטיקה, הסתברות, רשתות עצביות מלאכותיות, ביולוגיה, ביו מתמטיקה, כימיה, דמוגרפיה, כלכלה, מדעי כדור הארץ, פסיכולוגיה מתמטית, סוציולוגיה, מדע המדינה, ובלשנות.

תכונות מתמטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית היא פונקציה לוגיסטית עם פרמטרים (k = 1, x0 = 0, L = 1) שמניבה

עקב טבעה של הפונקציה המעריכית ex, לעיתים די לחשב את הפונקציה הלוגיסטית התקנית עבור x עבור טווח קטן של מספרים ממשיים כדוגמת הטווח .

לפוקנציה הלוגיסטית תכונת סימטריות:

בהתאם, היא פונקציה אי זוגית.

הפונקציה הלוגיסטית היא פונקציה היפרבולית:

או

.

על בסיס:

.

נגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית נגזרת הניתנת לחישוב:

עבור הנגזרת של הפונקציה הלוגיסטית מתקיימת התכונה:

פונקציה קדומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

את הפונקציה הקדומה של הפונקציה הלוגיסטית ניתן לחשב בעזרת אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים , כיוון ש , אז (בהשמטת קבוע האינטגרציה):

ברשתות עצביות מלאכותיות, זה ידוע כפונקציה ה-"softplus".

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Verhulst, Pierre-François (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" (PDF). Correspondance mathématique et physique 10: 113–121. בדיקה אחרונה ב-3 בדצמבר 2014.