פונקציה ממעלה שלישית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה ממעלה שלישית היא פונקציה ממשית (בדרך כלל), המתוארת על ידי משוואה מהצורה \ y = f(x), כאשר f הוא פולינום ממעלה שלישית;
דהיינו:

\ f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

נקודות הקיצון של הגרף נמצאות בפתרונות של המשוואה (התאפסות נגזרת הפונקציה): \ f'(x) = 3ax^2+2bx+c = 0. לכן, יש נקודות קיצון אם ורק אם \ b^2 > 3ac. לגרף יש נקודת פיתול אחת, בנקודה \ x = -\frac{b}{3a}; נקודות הקיצון, אם הן קיימות, נמצאות במרחק שווה משני צידיה של נקודת הפיתול. גם העקמומיות של הגרף שווה בשתי נקודות הקיצון, וערכה \ 2\sqrt{b^2 - 3ac}. את נקודות החיתוך עם ציר ה-x אפשר למצוא על ידי פתרון משוואה ממעלה שלישית: \ f(x) = 0.

צורתו הסכימטית של גרף הפונקציה תלויה בשני גורמים: הסימן של המקדם המוביל a, וקיומן או היעדרן של נקודות קיצון. על ידי החלפת משתנים לינארית של x ושל y (כלומר הצבת ביטוי מהצורה \ Ax + B במקום x וביטוי מהצורה \ Cy + D במקום y), אפשר להביא (מעל הממשיים) כל פונקציה ממעלה שלישית לאחת הצורות y=x^3+x (אין נקודות קיצון), y=x^3-x (שתי נקודות קיצון) ו־y=x^3 (נקודת קיצון אחת, המתלכדת עם נקודת הפיתול).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]