פונקציות היפרבוליות הפוכות

קרן דרך היפרבולת היחידה $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ בנקודה $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, כשהגודל של a הוא פי שניים מהשטח שבין הקרן, ההיפרבולה וציר הx.

הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות

במתמטיקה, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות הן הפונקציות ההופכיות לפונקציות ההיפרבוליות, כלומר לכל h פונקציה היפרבולית $h(x)\Longrightarrow h^{-1}(h(x))=x$.

פונקציות היפרבוליות מופיעות בחישובי זוויות ומרחקים בגאומטריה היפרבולית, משוואות דיפרנציאליות, משוואות מעוקבות, ומשוואת לפלס בקואורדינטות קרטזיות. המשוואות של לפלס חשובות בתחומים רבים בפיזיקה, כולל תיאוריה אלקטרומגנטית, העברת חום, דינמיקת נוזלים, ותורת היחסות הפרטית.

כתיב

סטנדרט ISO 80000-2 קובע שהשמות של הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות יורכבו מהתחילית ar ואחריה השמות של הפונקציות ההיפרבוליות המתאימות. לדוגמה, הפונקציה ההפוכה ל-sinh תיקרא arsinh.

ניתן למצוא גם שימוש שגוי בקידומת arc בתור אנלוגיה לשמות של הפונקציות הטריגונומטרית ההפוכות. קידומת זו לא מתאימה לפונקציות ההיפרבוליות מכיוון שהיא קיצור למילה הלטינית arcus (קשת), בעוד שהקידומת ar היא קיצור של המילה האנגלית area (שטח).

אחרים מעדיפים להשתמש בתחילית arg, שהיא קיצור למילה הלטינית argumentum. במדעי המחשב נהוג לקצר את התחילית לאות a (לדוגמה asinh, acosh וכו').

הכתיב $\sinh ^{-1}{\left(x\right)}$ גם נמצא בשימוש, חרף העובדה שהוא עלול להתפרש בטעות כחזקה.

הגדרות

פונקציות היפרבוליות הם פונקציות ממשיות על $e^{x}$ ממעלה שנייה לכל היותר ניתן להפוך אותן באמצעות הנוסחה הריבועית ואז באמצעות הלוגריתם הטבעי לקבל את x.

למספרים מורכבים, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, השורש הריבועי והלוגריתם הם פונקציות רב ערכיות, ולכן עבור ערכים שונים יכול להיות שהפונקציות יחזירו את אותו ערך.

לכל הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות (חוץ מהקוטנגנס, הקוסכנת ההיפרבולים ההפוכים), תחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה הממשית קשיר.

סינוס היפרבולי הפוך

סינוס היפרבולי הפוך :

$\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.

קוסינוס היפרבולי הפוך

קוסינוס היפרבולי הפוך:

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

תחום ההגדרה: $.x\in [1,+\infty )$

טנגנס היפרבולי הפוך

טנגנס היפרבולי הפוך :

$\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

תחום ההגדרה הוא הקטע: (−1, 1).

קוטנגנס היפרבולי הפוך

קוטנגנס היפרבולי הפוך:

$\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)$

תחום ההגדרה הוא: $x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$.

הסכנת היפרבולי הפוך

הסכנת ההיפרבולי הפוך:

$\operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)$

תחום הגדרה: $x\in (0,1]$

כוסכנת היפרבולי הפוך

כוסכנת היפרבולי הפוך:

$\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)$

תחום ההגדרה $x\in R,x\neq 0$

זהויות חיבור

$\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)$

$\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)$

$\operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

זהויות נוספות

${\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}$

$\ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)$

הרכבת פונקציות היפרבוליות על פונקציות היפרבוליות הפוכות

${\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}$

המרות בין פונקציות היפרבוליות הפוכות שונות

$\ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)$

$\operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)$

$\operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|$

נגזרות

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}$

הגדרות בעזרת טורי חזקות

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

$\operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}$

במישור המורכב

כפונקציות של משתנה מורכב, פונקציות היפרבוליות הפוכות הן פונקציות רב ערכיות שהן אנליטיות, למעט במספר סופי של נקודות.

מפני שהפונקציות הן רב ערכיות במישור המורכב אז כמו בפונקציות טריגונומטריות הפוכות מעדיפים להגדיר אותם רק מעל תחום מסוים בו הן חד ערכיות.

ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב

ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ניתן על ידי

$\operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.$

התוצאה השורש הריבועי הוא מספר ממשי שאינו חיובי, אם ורק אם $z\in (-\infty i,-i)\cup (i,\infty )$. אם הערך המוצב בלוגריתם הוא ממשי, הרי שתוצאת הלוגריתם היא מספר חיובי. לפיכך נוסחה זו מגדירה תחום בו arcsin הוא חד ערכי.

הגדרת קוסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב

$\operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.$

הגדרת הטנגנס והקוטנגנס ההיפרבוליים ההפוכים במישור המורכב

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}$

ראו גם

• לוגריתם מורכב

לקריאה נוספת

• הרברט בוסמן ופול ג'יי קלי (1953) גאומטריה השלכתית ומדדים השלכתיים, עמוד 207, העיתונות האקדמית.
• Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Inverse hyperbolic functions. Encyclopedia of Mathematics.:

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציות היפרבוליות הפוכות בוויקישיתוף

• פונקציות היפרבוליות הפוכות, באתר MathWorld (באנגלית)