פונקציות היפרבוליות הפוכות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קרן דרך היפרבולת היחידה בנקודה , כשהגודל של a הוא פי שניים מהשטח שבין הקרן, ההיפרבולה וציר הx.
הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות

במתמטיקה, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות הן הפונקציות ההופכיות לפונקציות ההיפרבוליות משמע לכל h פונקציה היפרבולית .

משתמשים בפונקציות היפרבוליות לחישובי זוויות ומרחקים בגאומטריה היפרבולית, משוואות דיפרנציאליות, משוואות מעוקבות ומשוואת לפלס בקואורדינטות קרטזיות. המשוואות של לפלס חשובות בתחומים רבים בפיזיקה, כולל תיאוריה אלקטרומגנטית, העברת חום, דינמיקת נוזלים, ותורת היחסות הפרטית.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציות היפרבוליות הם פונקציות ממשיות על ממעלה שנייה לכל היותר ניתן להפוך אותן באמצעות הנוסחה הריבועית ואז באמצעות הלוגריתם הטבעי לקבל את x.

למספרים מורכבים, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, השורש הריבועי והלוגריתם הם פונקציות רב ערכיות, ולכן עבור ערכים שונים יכול להיות שהפונקציות יחזירו את אותו ערך.

לכל הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות (חוץ מהקוטנגנס, הקוסכנת ההיפרבולים ההפוכים), תחום ההגדרה של הפונקציה הממשית קשיר .

סינוס היפרבולי הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

סינוס היפרבולי הפוך :[1][2]

תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.

קוסינוס היפרבולי הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

קוסינוס היפרבולי הפוך:[1][2]

תחום ההגדרה:

טנגנס היפרבולי הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

טנגנס היפרבולי הפוך :[2]

תחום ההגדרה הוא הקטע: (−1, 1) .

קוטנגנס היפרבולי הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

קוטנגנס היפרבולי הפוך:

תחום ההגדרה הוא: .

הסכנת היפרבולי הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסכנת ההיפרבולי הפוך:

תחום הגדרה:

כוסכנת היפרבולי הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

כוסכנת היפרבולי הפוך:

תחום ההגדרה

זהויות חיבור[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהויות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרכבת פונקציות היפרבוליות על פונקציות היפרבוליות הפוכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרות בין פונקציות היפרבוליות הפוכות שונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגזרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרות בעזרת טורי חזקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במישור המורכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפונקציות של משתנה מורכב, פונקציות היפרבוליות הפוכות הן פונקציות רב ערכיות שהן אנליטיות, למעט במספר סופי של נקודות.

מפני שהפונקציות הן רב ערכיות במישור המורכב אז כמו בפונקציות טריגונומטריות הפוכות מעדיפים להגדיר אותם רק מעל תחום מסוים בו הן חד ערכיות.

ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ניתן על ידי

התוצאה השורש הריבועי הוא מספר ממשי שאינו חיובי, אם ורק אם . אם הערך המוצב בלוגריתם הוא ממשי, הרי שתוצאת הלוגריתם היא מספר חיובי. לפיכך נוסחה זו מגדירה תחום בו arcsin הוא חד ערכי.

הגדרת קוסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרת הטנגנס והקוטנגנס ההיפרבוליים ההפוכים במישור המורכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הרברט בוסמן ופול ג'יי קלי (1953) גאומטריה השלכתית ומדדים השלכתיים, עמוד 207, העיתונות האקדמית .
  • Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html
  • Inverse hyperbolic functions. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inverse_hyperbolic_functions&oldid=47421

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1 2 Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions". mathworld.wolfram.com (באנגלית). בדיקה אחרונה ב-30 באוגוסט 2020. 
  2. ^ 1 2 3 "Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. בדיקה אחרונה ב-30 באוגוסט 2020.