פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:

לפונקציה יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל , ומוגדרת לכל באמצעות הערך הראשי של קושי (Cauchy Princpal value), בנוסחה:

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית האינטרגל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:

או בצורה אינטגרלית:

.

פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.

הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:

שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:

חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:

הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:

כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:

או:

רישום זה גורר לרישם הבא:

הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.

ערכים מיוחדים של הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא כאשר היא פונקציית גמא הלא שלמה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]