פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
גרף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:

לפונקציה יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל , ומוגדרת לכל באמצעות הערך הראשי של קושי (Cauchy Princpal value), בנוסחה:

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית האינטרגל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:

או בצורה אינטגרלית:

.

פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.

הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:

שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:

חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:

הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:

כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:

או:

רישום זה גורר לרישם הבא:

הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.

ערכים מיוחדים של הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא כאשר היא פונקציית גמא הלא שלמה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]