פונקציית זטא של דדקינד
במתמטיקה פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים היא פונקציה מרומורפית על המישור המרוכב. הפנקציה מהווה הכללה של פונקציית זטא של רימן. באופן מפורש פונקציית זטא של דדקינד עבור המקרה בו הוא שדה המספרים הרציונליים, היא פונקציית זטא של רימן. בדומה לפונקציית זטא של רימן, גם פונקציית זטא של דדקינד שימושית מאוד בתורת המספרים. בעוד שפונקציית זטא של רימן מספקת מידע על ההתפלגות של המשפרי מהראשוניים, פונקציית זטה של דדקינד מספקת מידע על התפלגות הזאת בשילוב עם תכונות אריתמטיות של המספרים הראשוניים הקשורות לשדה .
הגדרה
[עריכת קוד מקור | עריכה]פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים היא ההמשכה האנליטית של כאשר עובר על האידיאלים של חוג השלמים , ו-, הנורמה של . אם הוא שדה המספרים הרציונליים, מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור , וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב-.
השערת רימן המוכללת
[עריכת קוד מקור | עריכה]השערת רימן המוכללת גורסת כי לכל שדה מספרים , האפסים של פונקציית זטא של דדקינד המתאימה מקיימים .
פונקציות L וזטא | ||
---|---|---|
פונקציות זטא בתורת המספרים | פונקציית זטא של רימן • פונקציית זטא של דדקינד • פונקציית זטא של הסה-וויל • פונקציית זטא אריתמטית • פונקציית זטא של איגוסה | |
פונקציות L (נוספות) בתורת המספרים | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית L של ארטין • פונקציית L של הקה • פונקציית L של תבנית אוטומורפית • פונקציית L מוטיבית | |
תוצאות חשובות | המשכה אנליטית ומשוואה פונקציאונלית עבור פונקציית זטא של רימן • משפט המספרים הראשוניים • הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד • משפט דיריכלה • משפט הצפיפות של צ'בוטרב • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • השערות וויל • נוסחת מספר המחלקה (של דיריכלה ושל דדקינד) | |
השערות חשובות | השערת רימן (המוכללת) • השערת לנגלנדס • השערת לינדולף • השערת ארטין | |
פונקציות L וזטא נוספות | פונקציית זטא של חבורה • פונקציית זטא הצגתית של חבורה • פונקציית זטא של סלברג | |
מושגים קשורים נוספים | תורת המספרים האנליטית • תורת המספרים האלגברית • המשכה אנליטית • טור דיריכלה |
נוסחת מספר המחלקה | ||
---|---|---|
נוסחאות | נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה • נוסחת מספר המחלקה של דדקינד | |
מספרי מחלקה | מספר מחלקה (תבניות ריבועיות) • מספר מחלקה (תורת המספרים) | |
פונקציות L וזטא | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית זטא של דדקינד | |
שימושים | משפט דיריכלה • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • משפט הצפיפות של צ'בוטרב | |
מושגים קשורים נוספים | תבנית ריבועית בינארית • שדה מספרים • חוג השלמים האלגבריים • חבורת מחלקות האידיאלים |