פונקציית ליוביל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל n טבעי היא מוגדרת על ידי:

כאשר הוא מספר המספרים הראשוניים אשר מחלקים את n. ניתן לראות כי , אז . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז Ω(1) = 0 ומכאן λ(1) = 1. ניתן לראות כי:

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

  •  :
  •  :

כאשר היא פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה , אז לכל n > 1. השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור n = 906150257. הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה : אז T(n) ≥ 0. אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז זה היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]