פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל n טבעי היא מוגדרת על ידי:

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!

כאשר $\Omega (n)$ הוא מספר המספרים הראשוניים אשר מחלקים את n. ניתן לראות כי $\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$ , אז $\lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)$ . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז Ω(1) = 0 ומכאן λ(1) = 1. ניתן לראות כי:

\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

: ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),$

כאשר $\vartheta _{3}(q)$ היא פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה $L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k),$ , אז $L(n)\leq 0$ לכל n > 1. השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור n = 906150257. הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה : $T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.$ אז T(n) ≥ 0. אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז זה היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן.