פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי

פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי היא פונקציה ממשית בעלת מספר תכונות מעניינות ולא-שגרתיות, ומהווה גורם עניין בתחומים כמו אנליזה מתמטית, תורת המידה ותורת הפרקטלים. את הפונקציה מסמנים על ידי ; השם והסימון הנ"ל ניתנו לפונקציה בגלל התכונות הלא-שגרתיות ולא-מובנות שלה.

הפונקציה הוגדרה על ידי הרמן מינקובסקי בשנת 1904; היא נחקרה על ידי מספר מתמטיקאים, בהם ארנאוד דנג'וי, שהראה בשנת 1938 כיצד מעבירה הפונקציה מספרים ריבועיים אל מספרים רציונליים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה מוגדרת בנפרד על המספרים הרציונליים ועל המספרים האי-רציונליים.

עבור מספר רציונלי נתון, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב סופי , ומגדירים

עבור מספר אי-רציונלי, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב אינסופי , ומגדירים

הפונקציה אכן מוגדרת לכל מספר אי-רציונלי, כפי שניתן להוכיח בעזרת מבחן לייבניץ.

הסבר אינטואיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאחורי ההגדרה לעיל ישנו הסבר אינטואיטיבי, אשר בליבתו מסתתרת המרה בין דרכי תצוגה של מספרים ממשיים (בדומה לפונקציית קנטור, הממירה בין בסיסים).

בהינתן מספר כלשהו בין 0 ל-1, ניתן להסתכל על הייצוג הבינארי האינסופי שלו, המתפרש לסדרה של אפסים ואחדות. על אותה סדרה ניתן גם להסתכל בתור השבר המשולב , כאשר המספרים הטבעיים הם מספר האפסים והאחדות הרצופים על פי הסדר.

לדוגמה: נביט בסדרה הבינארית . הייצוג הבינארי שלה הוא המספר ; הייצוג שלה לפי שבר משולב הוא , ששווה ל-.

אם כן, פונקציית סימן השאלה מתאימה בין מספר המיוצג באופן של שבר משולב למספר הבינארי בעל אותו הייצוג. בפרט, על פי הדוגמה מתקיים .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור שני שברים מצומצמים ו- כך ש-, מתקיים: .

בעזרת נוסחה זו ניתן לחשב את פונקציית סימן השאלה עבור כל מספר רציונלי.

פונקציית סימן השאלה היא פונקציה אי-זוגית, רציפה ועולה חזק, אך איננה רציפה בהחלט. היא גם פונקציה סינגולרית.

הפונקציה ממפה מספרים רציונליים אל מספרים די-אדיים רציונליים (כלומר מהצורה המצומצמת ), ומספרים ריבועיים (שורשים של משוואות ריבועיות) אי-רציונליים אל מספרים רציונליים לא די-אדיים בהכרח; מעבר לכך, היא מתאימה באופן מלא בין מספרים ריבועיים למספרים רציונליים. עבור אי-רציונלי, הוא או אלגברי מדרה גדולה מ-2, או טרנסצנדנטי.

מתקיים ועל כן הפונקציה הנה מחזורית בעלת מחזור 1.

הפונקציה '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'

הפונקציה ההופכית - פונקציית הקופסה של קונוויי[עריכת קוד מקור | עריכה]

היות שהפונקציה עולה חזק, הרי שהיא חד-חד-ערכית, ועל כן הפיכה. ההופכית שלה היא פונקציית הקופסה של קונוויי, שהתגלתה באופן בלתי תלוי על ידי ג'ון הורטון קונוויי. הסימון המקובל עבורה הוא קופסה סביב x, והיא שווה ל-.

ניתן לחשב את הפונקציה על ידי מציאת הפיתוח הבינארי של המספר , ולאחר מכן לבצע את ההתאמה כמתואר לעיל ולקבל את השבר המשולב , כאשר .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]