פורטל:מתמטיקה/הידעת?/קטעי הידעת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
1
ג'ירולמו קרדאנו

ג'ירולמו קרדאנו היה מתמטיקאי, פילוסוף, רופא, אסטרולוג וממציא בן המאה ה-16, ששמו הלך לפניו בכל רחבי אירופה. לקרדאנו הייתה חולשה מיוחדת להימורים והוא הקדיש לכך כמה שנים מחייו. מבין שלל של למעלה מ-100 הספרים שכתב, ספר אחד הוקדש ליסודות תורת ההסתברות שקרדאנו היה ממפתחיה. בפרקים הראשונים של הספר, שלא עוסק רק במתמטיקה טהורה, מספק קרדאנו שלל עצות למהמרים במשחקי קובייה ובמשחקי קלפים. מקום מיוחד הקדיש קרדאנו לתיאור מפורט של שיטות רמאות במשחקי מזל.

עריכה | תבנית | שיחה
2
Perelman, Grigori (1966).jpg

גריגורי פרלמן הוא מתמטיקאי יהודי, יליד סנקט פטרבורג, שפרסם בשנת 2002 הוכחה להשערת פואנקרה. השערה חשובה זו, השייכת לתחום הטופולוגיה, נוסחה על ידי אנרי פואנקרה ב-1904, ונבחרה בשנת 2000 על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע בעיות המילניום שפתרונן מזכה בפרס של מיליון דולר. פרלמן בחר לפרסם את ההוכחה שלו, שהשערת פואנקרה מהווה מקרה פרטי שלה, דווקא באינטרנט ולא בכתב עת שעובר ביקורת עמיתים, ובכך הוא בעצם ויתר על הפרס. התכחשותו לממסד המדעי נמשכה כשסירב לקבל את מדליית פילדס, שמוענקת אחת לארבע שנים, ומהווה את הפרס החשוב והמכובד ביותר בענף המתמטיקה.

עריכה | תבנית | שיחה
3
פאון שצייר לאונרדו דה וינצ'י עבור ספרו של לוקה פאצ'ולי "על הפרופורציה האלוהית"

ציורים כמו הסעודה האחרונה והמונה ליזה נחשבים כיום למוכרים ולמוערכים ביותר מבין יצירותיו של הצייר ואיש האשכולות לאונרדו דה וינצ'י. אולם, בימי חייו, הוא התפרסם יותר בזכות רישומים גאומטריים של פאונים שצייר עבור הספר על הפרופורציה האלוהית. הספר שעסק בנושא יחס הזהב נכתב על ידי ידידו של לאונרדו, הנזיר והמתמטיקאי הנודד לוקה פאצ'ולי.

עריכה | תבנית | שיחה
4
פאול ארדש, 1992

המתמטיקאי היהודי-הונגרי פאול ארדש, שעסק בין השאר בתורת הגרפים, ידוע במאמרים המדעיים הרבים שחיבר – רק לאונרד אוילר חיבר יותר מאמרים מדעיים ממנו. עובדה זו הקנתה לו מקום בפולקלור המתמטי כבסיס למניית מאמרים בשיטה רשתית הדומה לתחום עיסוקו. מדענים שחיברו מאמרים עם ארדש נחשבים בעלי "מספר ארדש 1", ולאחר מותו נספרו 511 כאלה. מי שחיבר מאמר יחד עם אדם בעל "מספר ארדש 1" נחשב כבעל "מספר ארדש 2", ואלה כבר מונים 8,163 ב-2008, וכן הלאה. מספר ארדש הממוצע בקרב אלו שיש להם מספר ארדש עומד על 4.65 ו"מספר ארדש החציוני" עומד על 5.

עריכה | תבנית | שיחה
5
סימן פאי

ב־14 במרץ מציינים במחלקות למתמטיקה באוניברסיטאות ברחבי העולם את יום פאי, זאת כתוצאה מהקירוב בן שלוש הספרות לערך פאי - 3.14. מהדרי ה"חג" חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159). ביום פאי של שנת 2004 קבע הגאון-האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה-22,514 שלו. השיא העולמי בדקלום פאי שייך ללו צ'או מסין שב-20 בנובמבר 2005 דקלם ללא שגיאה 67,890 ספרות.

עריכה | תבנית | שיחה
6
יוהאן ברנולי

כלל לופיטל, הנקרא על שמו של המתמטיקאי החובב המרקיז דה לופיטל, נתגלה למעשה על ידי המתמטיקאי השווייצרי יוהאן ברנולי. לופיטל, שהיה איש עשיר, עשה ב־1694 עסקה עם ברנולי לפיה ישלם לו 300 פרנקים לשנה בתמורה לבלעדיות על תגליותיו. בספר הלימוד של חשבון דיפרנציאלי שכתב דה לופיטל הופיע הכלל לראשונה, ונקרא לכן בטעות על שמו. ב־1704, לאחר מות דה לופיטל, פרסם ברנולי את דבר העסקה, וביקש הכרה בכך שהוא גילה את הכלל. ב-1922 נמצאו מסמכים המאשרים את גרסת ברנולי.

עריכה | תבנית | שיחה
7
סימן פאי

ב-1897 נדונה בפרלמנט של מדינת אינדיאנה הצעת חוק פאי, שבין השאר קבעה את ערכו של פאי. עיקר החוק נגע לשיטתו של מתמטיקאי חובב לתרבוע העיגול באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, וממנו נגזרו מספר ערכים שגויים לפאי, 3.2 למשל. חמש עשרה שנה לפני כן, פורסמה הוכחה שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי, ולכן תרבוע העיגול בלתי אפשרי. למרות זאת, ההצעה אושרה בוועדת החינוך ואחר כך בבית הנבחרים, ואף עברה בקריאה ראשונה בסנאט של אינדיאנה. רק התערבותו המהירה של פרופסור למתמטיקה שנכח במקרה בבית המחוקקים מנעה את הפיכת ההצעה לחוק מחייב.

עריכה | תבנית | שיחה
8
לואיס קרול

מספרים על לואיס קרול ששלח למלכה ויקטוריה את ספרו "חיבור בסיסי על דטרמיננטים", העוסק במתמטיקה, לאחר שזו כתבה לו כי נהנתה לקרוא את הרפתקאות אליס בארץ הפלאות וביקשה לקבל את חיבורו הבא עם פרסומו. כיום משערים שזו אגדה אורבנית.

עריכה | תבנית | שיחה
9
קוביה (הקסהדרון)

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם, שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, הן בעיות בנייה שיש לפתור באמצעות שימוש בסרגל ובמחוגה בלבד. הבעיות הן: בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שוים, בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות. רק במאה ה-19 הוכח בעזרת התורה המתמטית של הרחבת שדות שהבעיות אינן פתירות, אולם העיסוק בהן במשך השנים תרם רבות להתפתחות הגאומטריה.

עריכה | תבנית | שיחה
10
מפת קנינסברג, הנהר והגשרים מודגשים

העיר קניגסברג שבפרוסיה המזרחית (כיום קלינינגרד שברוסיה) הייתה מחולקת לארבעה חלקים על ידי הנהר פרגוליה. שבעה גשרים חיברו בין ארבעת חלקי העיר. בין תושבי העיר התפתחה מסורת לפיה לא ניתן לחצות את כל שבעת הגשרים ולחזור לנקודת ההתחלה מבלי לעבור על אותו גשר יותר מפעם אחת. תושבי העיר ניסו להוכיח או להפריך השערה זו, אולם ללא הצלחה. הבעיה התפרסמה בשם בעיית הגשרים של קניגסברג. המתמטיקאי לאונרד אוילר הצליח לפתור את הבעיה, והציג את פתרונו לאקדמיית סנקט פטרבורג ב-26 באוגוסט 1735. בהוכחתו הוא תיאר את הבעיה באופן סכמטי. כל נקודה ייצגה חלק של העיר, וכל קו ייצג גשר. הוא הראה שמכיוון שמכל נקודה יוצא מספר אי-זוגי של קווים, לא קיים מסלול סגור שעובר דרך כל הקווים. זו אחת הבעיות הראשונות בתורת הגרפים שנפתרו.

עריכה | תבנית | שיחה
11
הקוף מקליד באקראי

משפט הקוף המקליד גורס כי ברצף ארוך מספיק של אותיות אקראיות, יופיע בסופו של דבר, כמעט בוודאות, כל טקסט אפשרי. באופן ציורי ניתן לתאר את המשפט בעזרת קוף שמקליד תווים במכונת כתיבה באופן אקראי, ואחרי זמן רב מאוד מתקבל רצף האותיות של אחת מיצירות שייקספיר. המשפט קיבל אזכורים רבים בתרבות, החל מבדיחות במדריך הטרמפיסט לגלקסיה ובמשפחת סימפסון ועד לגרסאות למשפט בספרים הסיפור שאינו נגמר והשען העיוור.

עריכה | תבנית | שיחה
12 במשך שנים רבות לא הוכר האפס כמספר בפני עצמו ויוצג כ"מקום ריק" בכתיבת מספרים. זאת, בין היתר, עקב הקושי הפילוסופי שעוררה המחשבה כי ניתן "לייצג שום דבר". ליחס מסתייג זכו גם המספרים השליליים והאי רציונליים, ובפרט ידועה האגדה על פיה השליכו תלמידיו של פיתגורס את תלמידו היפאסוס לנהר בשל גילויו שהמספר הוא אי-רציונלי.

כשניסה ג'ירולמו קרדאנו לפתור את המשוואה , הגיע לביטוי שכלל את המספר . בספרו "האמנות הגדולה" (Ars magna) פרסם קרדאנו פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת".

עריכה | תבנית | שיחה
13
בול סובייטי עם תמונתו של אל חואריזמי

המושג "אלגוריתם", מונח מרכזי במדעי המחשב, נגזר משמו של מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי, מתמטיקאי שחי בבגדאד במאה התשיעית. כאשר ספרו על שיטות חישוב תורגם ללטינית, נכתב שמו של אל ח'ואריזמי כ"אלגוריטמי", והקוראים טעו לחשוב שמדובר בצורת רבים של המושג שיטת חישוב. המילה אלגברה נלקחה מספר אחר שלו - "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה". על פי הספר, פעולת ההשלמה, אל-ג'אבר, היא אחת משתי הפעולות שניתן לבצע על משוואה על מנת לפשט אותה.

עריכה | תבנית | שיחה
14
המספר גוגול

המספר גוגול, שהוא 1 ואחריו מאה אפסים, גדול יותר ממספר החלקיקים ביקום הידוע, שמוערך בין 1072 לבין 1087. גוגולפלקס הוא מספר כה גדול שקשה אפילו לדמיינו, 1 ואחריו גוגול אפסים. גם אם כל החומר ביקום ישמש כדיו ונייר או כדיסק קשיח, בלתי אפשרי יהיה לכתוב או לייצג את כל הספרות של גוגולפלקס בייצוג עשרוני.

עריכה | תבנית | שיחה
15
אווריסט גלואה

המתמטיקאי והמהפכן הצרפתי אווריסט גלואה, מיוצרי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה, שני תחומים מרכזיים באלגברה מופשטת, נהרג בדו-קרב ב-30 במאי 1832, בהיותו בן 21 בלבד. בידיעה כי חייו מתקרבים לקיצם, ובניסיון לשמר את מחקריו גם לאחר מותו, העלה גלואה על הכתב בלילה שלפני הדו-קרב, את עיקרי רעיונותיו החשובים, בצורה מאוד לא מסודרת. בין השאר, שימשה תורת החבורות את מארי גל-מאן ויובל נאמן, במקביל, בחיזוי הקווארקים.

עריכה | תבנית | שיחה
16
תרשים של משפט פיתגורס

תחום עניין מעט יוצא דופן בפועלו של המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס, היה חקר האפשרות של קיום חיים מחוץ לכדור הארץ. גאוס היה הראשון שהעלה רעיון יצירתי איך להעביר מסר אופטי לחוצנים תבוניים אחרים. גלי הרדיו לא נתגלו עדיין, כך שתקשורת רדיו לא הובאה בחשבון. הרעיון של גאוס היה לטעת במדבר סהרה שטח מוריק בן מאות קמ"ר בצורת תרשים של משפט פיתגורס. אם יבחינו החוצנים בטלסקופים שלהם בצורה הזאת, הם יבינו כי הסבירות שהיא מקרית נמוכה ביותר ויסיקו שיצרה אותה ציוויליזציה מתקדמת.

עריכה | תבנית | שיחה
17
גאורג קנטור

גם לאלפבית העברי יש מקום במתמטיקה. גאורג קנטור, מפתח תורת הקבוצות, החדיר את השימוש באות א' לציון של גדלים אינסופיים. האינסוף בן המנייה מכונה אלף אפס ומסומן . גודל זה מבטא את העוצמה של המספרים הטבעיים, שהיא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. מאוחר יותר הוכנסה גם האות ב' לשימוש בקרב המתמטיקאים. הסימון מציין את עוצמת הרצף , כלומר את העוצמה של המספרים הממשיים. לפי השערת הרצף העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מנייה, , שווה ל-.

עריכה | תבנית | שיחה
18
אסיר

דילמת האסיר היא בעיה בתורת המשחקים, שפורסמה בשנת 1950 על ידי מריל פלאד ומלווין דרשר מ"מכון ראנד" בארצות הברית. על פי גרסה נפוצה לבעיה, המשטרה עצרה שני עבריינים שביצעו פשע משותף, ומפרידה ביניהם לצורך חקירה. אם תצליח המשטרה להביא להרשעתם, ייכנס כל אחד מהם לכלא ל-15 שנה, אך בחוסר ראיות הם יועמדו לדין על עבירה משנית שבגינה ייכנס כל אחד מהם לכלא לשנה אחת (למשל רצח לעומת החזקת נשק לא חוקית). למשטרה אין די ראיות להעמידם לדין, ולכן היא מציעה לכל אחד מהם להעיד נגד רעהו, וכפרס מובטח לעד עונש מופחת: אם שני האסירים יקבלו את הצעת המשטרה, ייכנס כל אחד מהם לכלא לחמש שנים, ואם רק אחד מהם יעיד ורעהו ישתוק, העד יצא מיד לחופשי וחברו ייכלא ל-15 שנה. לפיכך, לא משנה מה כל אסיר יעשה, לשני כדאי להודות באשמה, ואף על פי כן הודאה באשמה של שני האסירים היא לא התוצאה האופטימלית עבורם. במדע המדינה משמשת דילמת האסיר להמחשת מצב שבו שתי מדינות נכנסות למרוץ חימוש, לדוגמה המלחמה הקרה בין ארצות הברית לברית המועצות, שכן בין אם המדינה השנייה תוקפת או לא עדיף להם לתקוף, אך שלום הדדי עדיף על מלחמה הדדית.

עריכה | תבנית | שיחה
19 המתמטיקאי ההודי האוטודידקט סריניוואסה רמנוג'אן עבד כחשבונאי חסר כל השכלה פורמלית, כאשר מכתב ובו הישגיו המתמטיים נשלח למתמטיקאי הבריטי גודפרי הרולד הארדי. האחרון חשב תחילה שמדובר במשוגע, אך לאחר מכן הוא זיהה את גאוניותו הטבעית, הביא אותו לבריטניה והחליט לאמצו יחד עם ג'ון אדנזור ליטלווד. אנקדוטה מפורסמת עליו היא שהוא היה כה מסור למתמטיקה, עד שגם במיטת חוליו, כשהארדי העיר לו שמספר המונית בה נסע, 1729, הוא משעמם במיוחד, השיב לו רמנוג'אן מיד: "לא, זה מספר מעניין מאוד; זה המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שתי חזקות שלישיות בשתי דרכים שונות" (ואכן 1729 = 123 + 13 = 103 + 93). עריכה | תבנית | שיחה
20
השבר ...0.142857142857

השבר עשרוני המייצג את המספר שביעית (...0.142857142857) מורכב מרצף הספרות 142857 שחוזר על עצמו אינסוף פעמים. למספר 142857 תכונה מעניינת: כאשר מכפילים אותו במספר טבעי קטן מ-7 מקבלים תמורה מעגלית של המספר המקורי, כלומר מספר הבנוי מאותן ספרות שהוזזו באופן מעגלי. לדוגמה:

2 × 142,857 = 285,714
3 × 142,857 = 428,571
4 × 142,857 = 571,428
5 × 142,857 = 714,285

למספר מסוג זה קוראים מספר ציקלי.

עריכה | תבנית | שיחה
21
כמות המספרים הראשוניים עד X והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים
x
101 4 0  2
103 168 23  10
106 78,498 6,116  130
109 50,847,534 2,592,592  1,701
1012 37,607,912,018 1,416,705,193  38,263
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452  1,052,619


במתמטיקה כמו במדעי הטבע נהוג לשער השערות על בסיס אינדוקציה (הסקת מסקנות מהפרט אל הכלל). אולם, בשונה ממדעי הטבע, על מנת שהשערה תהפוך למשפט נדרשות גם הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מקרים. על אף שבהרבה מקרים השערות עם ראיות מספריות חזקות מוכחות בסופו של דבר, חלקן מופרכות. תופעה זאת נקראת לעיתים חוק המספרים הקטנים.

דוגמה לתופעה זאת הייתה ההשערה לפיה המספרים 31, 331, 3331 וכו' ראשוניים, שהייתה נכונה למספרים הראשונים בסדרה והופרכה רק כשהתגלה ש-333,333,331 פריק.

דוגמה קיצונית אף יותר, גם היא עוסקת במספרים ראשוניים, קשורה למשפט המספרים הראשוניים, שמספק קירוב טוב למספר הראשוניים מתחת למספר . הקירוב נתון על ידי פונציית הפונקציית האינטגרל הלוגריתמי (ששווה בקירוב, פחות מדויק, ל, דהיינו X לחלק לתוצאת הלוגריתם הטבעי עבורו).

לאחר בדיקת כמות עצומה של מספרים, הערכה זו תמיד מפריזה במעט במספר הראשוניים, אך ג'ון אדנזור ליטלווד גילה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים, מבלי להצביע על המספר בו יקרה ההיפוך.

להשערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נמצאו ראיות התקפות למספרים רבים בעזרת מחשבי על. אולם בהיעדר הוכחה הן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום).

עריכה | תבנית | שיחה
22
מודל מערכת השמש לפי קפלר כפי שפורסם בחיבורו, "מסתרי היקום"

הכרך האחרון מבין שלושה עשר כרכי חיבורו החשוב של אוקלידס, יסודות, עסק בחמשת הפאונים המשוכללים, והופיעה בו הוכחה לכך שהם הפאונים המשוכללים היחידים. אפלטון קישר בין היותם של חמישה גופים כאלו לחמשת יסודות הטבע בעיניו- ארבעון לאש, קובייה לאדמה, תמניון לאוויר, עשרימון למים ואת התריסריון בן שתים עשרה הפאות לגלגל המזלות. קישור שכזה בין העולם המתמטי לטבע יכול להיראות מופרך לקורא המודרני, אך גם ב-1596 האסטרונום יוהאנס קפלר פרסם חיבור בו טען שמסלוליהם של ששת כוכבי הלכת שהיו ידועים בזמנו הם למעשה כדורים, החוסמים ונחסמים באחד מהגופים האפלטוניים, כלומר ברווחים שבין המסילות של כוכבי הלכת לשמש ניתן להכניס בדיוק את אחד הגופים המשוכללים.

עריכה | תבנית | שיחה
23 על זכות הראשונים לגילוי האלגוריתם לפתרון משוואה ממעלה שלישית, נאבקו מספר מתמטיקאים. ניקולו טרטליה פיתח שיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית מהצורה .

לאחר ששמע ג'ירולמו קרדאנו שטרטליה הצליח בשנת 1535 לפתור משוואות אלו, הוא ניסה את כוחו בפתרונן, למרות שנחשבו במשך זמן רב לבלתי פתירות. קרדאנו נכשל בניסיונותיו, והחליט לנסות לשכנע את טרטליה לגלות לו את שיטת הפתרון.

בסופו של דבר הצליח קרדאנו לפתות את טרטליה להגיע למילאנו, בתואנה שמושל העיר מעוניין לפגוש את הוונציאני המוכשר. כשהגיע טרטליה למילאנו התברר שהמושל נמצא מחוץ לעיר, וכעבור שלושה ימים הוא החליט לעזוב. קרדאנו נתן לו ברגע האחרון מכתב המלצה להתקבל אצל המושל ובתמורה רשם טרטליה את דרך הפתרון בצורה מוצפנת, באמצעות שיר. טרטליה שהבין כי נפל בפח, חזר מיד לוונציה, ואילו קרדאנו פיענח את הרשום בשיר והבין את שיטת הפתרון של טרטליה שהייתה תקפה לצורה אחת של משוואות מעוקבות. בהמשך, מצא קרדאנו את הדרך להביא כל משוואה מעוקבת לצורה שאותה ידע כבר לפתור באמצעות השיטה של טרטליה.

עריכה | תבנית | שיחה
24
"אוריגמי מודולרי" (עיין ערך) בצורת כוכב

מחקר מתמטי של אומנות האוריגמי היפנית גילה שחישוב דרך הקיפול של דגמי אוריגמי היא בעיה NP שלמה, כלומר בעיה קשה במיוחד לפתרון. בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע אקסיומות המגדירות את הפעולות הגאומטריות האפשריות בתהליך הקיפול. כיום אקסיומות אלו משמשות גם בתכנון הנדסי של מתקנים מתקפלים "חכמים", כגון מפרשים סולאריים מתקפלים עבור לוויינים, תומכנים זעירים מתקפלים עבור צנתרי לב, כריות אוויר לרכב המתנפחות באופן יעיל יותר, כיפות מתקפלות עבור אצטדיוני ענק, שלדות רכב המתקפלות באופן שיספוג טוב יותר פגיעות מהתנגשויות ועוד.

עריכה | תבנית | שיחה
25
השורש הריבועי של 2, שהוכח בדרך השלילה שהוא אי רציונלי, הוא אורכו של היתר במשולש ישר-זווית שאורך ניצביו הוא 1.

אף על פי שהוא נראה טריוויאלי, כלל השלישי מן הנמנע, שקובע כי כל טענה בהכרח נכונה או לא נכונה, נדחה על ידי קבוצות בפילוסופיה של המתמטיקה כגון האינטואיציוניזם כשמדובר בקבוצות אינסופיות. גישה זו גורמת לביטול האפשרות להוכחה בדרך השלילה, טכניקה בה הוכחו לראשונה כמה מהמשפטים המתמטיים החשובים ביותר, כמו אי הרציונליות של השורש הריבועי של 2 וקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים.

עריכה | תבנית | שיחה
26
1925 kurt gödel.png

המתמטיקאי והלוגיקאי קורט גדל היה בפירוש פלאוטוניסט בהשקפתו המתמטית. גדל התפרסם בעיקר בזכות משפטי האי שלמות שלו, שהשפיע השפעה מכרעת על הלוגיקה המתמטית בפרט ועל המתמטיקה בכלל, שמראים כי יש טענות מתמטיות שלא ניתן להוכיחן או להפריכן ושאי אפשר להוכיח את עקביותה של מערכת המכילה את אקסיומות פאנו, כלומר האקסיומות האריתמטיות הבסיסיות. גדל ראה את הוכחתו כמכת מחץ לפורמליזם וכצידוק לגישתו הפלאוטוניסטית, אך באופן אירוני הוכחתו תרמה רבות לפיתוח הפוסטמודרניזם, בניגוד מוחלט להשקפותיו.

עריכה | תבנית | שיחה
27
לאונרד אוילר

מסופר על לאונרד אוילר, אחד המתמטיקאים החשובים בהיסטוריה, שבזמן שהותו אצל יקטרינה הגדולה, דני דידרו ניסה לשכנע את הרוסים להפוך לאתאיסטים. על פי הסיפור, אוילר אמר לדידרו: "אדוני, , מכאן שאלוהים קיים- השב!", ודידרו חסר הידע המתמטי הובך ולאחר זמן מה עזב את רוסיה. ככל הנראה זוהי אגדה אורבנית, שכן לדידרו היה ידע מתמטי.

עריכה | תבנית | שיחה
28
הכתובה
100 200 300
גודל
העיזבון
100
200
300

במשנה הנכללת במסכת כתובות (י, ד), הנפתחת במשפט מי שהיה נשוי שלוש נשים, נמצא דיון בחלוקת רכוש בין מספר נשים. המשנה דנה בדוגמה של חלוקת עזבונו של אדם בין שלוש אלמנותיו, אולם מציינת שאותו הכלל תקף גם למקרים כגון פירוק שותפות. במשנה מוצג אופן החלוקה בשלושה מקרים שבהם העיזבון אינו גדול דיו כדי לכסות את הסכום שהובטח בכתובה לכל אחת מהנשים. פרשני המשנה התקשו למצוא את הכלל המנחה שעל פיו נקבעו מקרים אלו, והמשנה נותרה ללא פירוש משביע רצון. בשנת 1985 הציעו ישראל אומן ומיכאל משלר פתרון אפשרי לבעיה, שמבוסס על הכללת שיטת החלוקה שמתוארת במשנת שניים אוחזין, הפותחת את מסכת בבא מציעא. הפתרון הוא חדשני בכך שהוא התגלה באמצעות הפעלת כלים מתורת המשחקים המודרנית (תחום התמחותו של אומן) על טקסט מן המשנה.

עריכה | תבנית | שיחה
29
ציור.svg

הכמתים הלוגיים "לכל..." ו"קיים..." מבוססים על כתיב הפוך של האותיות האנגליות הראשונות במילים: A ב-All ("כל") ו-E ב-Exist ("קיים").

עריכה | תבנית | שיחה
30
Mainpic134.jpg

אם לוקחים שני גליונות נייר זהים, מקמטים אחד (אך לא קורעים אותו) ומניחים מעל השני כך שאינו חורג מגבולותיו. לפי משפט נקודת השבת של בראואר יש נקודה בגיליון המקומט שנמצאת בדיוק מעל הנקודה המקבילה לה בגיליון השני.

בשלושה ממדים, מסקנה נוספת ממשפט בראואר היא שלא משנה עד כמה מערבבים או בוחשים במשקה הנמצא בכוס, נקודה מסוימת של הנוזל תמיד נשארת באותו מקום בו היא הייתה לפני ערבוב המשקה, בהנחה שהמשקה לאחר הערבוב נותר באותו מרחב בו הוא היה בהתחלה.

עריכה | תבנית | שיחה
31 פרדוקס יום ההולדת הוא שמה של תוצאה בתורת ההסתברות לפיה בקבוצה של 23 אנשים או יותר, שנבחרו באקראי, הסיכויים לכך ששניים מהם נולדו באותו יום בשנה עולים על חצי. תוצאה זו אינה פרדוקס במובן המקובל של המילה, שכן אין בה סתירה לוגית, אך היא סותרת את האינטואיציה של מרבית האנשים, הסבורים כי ההסתברות תהיה קטנה בהרבה מחצי משום שמספר הימים שבהם אפשר להוולד גדול בהרבה מ-23. תוצאה זו הינה מקרה פרטי של עובדה כללית יותר, שיש לה חשיבות רבה ביישומים של תורת ההסתברות. אגב, כאשר מספר האנשים בקבוצה עולה ל-50 אנשים שנבחרו באקראי, הסיכויים למציאת שניים שנולדו באותו יום בשנה מטפסים למעל 97%. עריכה | תבנית | שיחה
32 כדור היחידה מממד N הוא אוסף כל הנקודות ב שמרחקן מראשית הצירים קטן או שווה לאחת.

כדור היחידה מממד 1 הוא האינטרוול ו"נפחו" שווה ל 2 (אורך הקטע). כדור היחידה מממד 2 הוא עיגול שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. "נפחו" שווה ל (שטח העיגול). בניגוד לאינטואיציה, כאשר הממד N שואף לאינסוף, נפח הכדור ה-N ממדי שואף ל-0.

עריכה | תבנית | שיחה
33 סדר ביצוע פעולות החיבור (כולל מחוברים שליליים) בביטוי אריתמטי סופי, אינו משנה את ערך הביטוי. כך למשל, 7-5+3=7+3-5=3+7-5.

עבור ביטויים אינסופיים, תוצאה זו אינה נכונה. משפט רימן, שאותו הוכיח המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן במאה ה-19, קובע כי עבור כל טור המתכנס בתנאי, על ידי שינוי סדר הסכימה, ניתן לקבל כל תוצאה מספרית אפשרית ואפילו אינסוף.

למשל:

אבל

עריכה | תבנית | שיחה
34 אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש. תוצאה זו מובטחת על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז' הקובע כי עבור פונקציה רציפה וגזירה בתחום מסוים, קיימת בהכרח נקודה בה קצב ההשתנות הממוצע של הפונקציה (במקרה הזה העתק לפי זמן או "מהירות ממוצעת") שווה לקצב ההשתנות הרגעי של הפונקציה (המהירות הנקודתית). עריכה | תבנית | שיחה
35
Rtriangle-mathsinegypt.svg

שלשת המספרים היא לא רק השלשה הפיתגורית שאיבריה הקטנים ביותר במספרים טבעיים, כי אם גם היחידה שאיבריה עוקבים במספרים שלמים. השלשה הנוספת שאיבריה עוקבים הנה . ניתן לוודא טענה זו על ידי פתירת המשוואה .

עריכה | תבנית | שיחה
36
איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור

באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה (למשל תת-קבוצה של המרחב האוקלידי) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. נקודה במישור, למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (למשל, הקואורדינטות הקרטזיות שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי. ישנן קבוצות שמימדן אינו מספר טבעי. כך למשל, הממד של קבוצת קנטור הוא .

עריכה | תבנית | שיחה
37
קיפו. ניתן להבחין בקשרים על החבלים.

באימפריית האינקה לא נעשה שימוש בכתב. למרות היעדר הכתב, ניהולה של מערכת מדינית כה גדולה דרש צורה מסוימת של אכסון מידע מתמטי (כגון מיסים, כלי נשק, בהמות וכו'). לצורך אכסון המידע המתמטי השתמשו האינקה בכלי הנקרא קִיפּו, מילולית: קשר. הקיפו היה עשוי חבלים כך שאכסון המידע עליו התבצע באמצעות יצירת קשרים עליהם.

להרחבה ראו היסטוריה של האריתמטיקה

עריכה | תבנית | שיחה
38
החידה הפתורה

חידת ה-15 היא חידה מכנית המורכבת מלוח בן 16 משבצות, שבתוכו 15 לוחיות הנושאות את המספרים 1-15 ומשבצת אחת נותרת ריקה. כדי לפתור אותה יש לצאת ממצב שבו הלוחיות מעורבבות על הלוח, לסדר אותן לפי הסדר, כאשר הפעולה החוקית היחידה המותרת היא הזזת לוחית הסמוכה למשבצת הריקה לתוכה (ועל ידי כך יצירת משבצת ריקה חדשה). לאחר שהחידונאי סם לויד, שנודע כממציא החידה, הציע פרס כספי למי שיצליח להחליף בין הלוחיות 14 ו-15, החל שיגעון של ממש שארך מספר חודשים. למעשה, משימה זו הוכחה כבלתי אפשרית, ולויד ידע שכספו בטוח. בכל אופן, ספר בשם "The 15 Puzzle book" שיצא ב-2006 קבע כי לא לויד הוא ממציא החידה, אלא הדוור נויס פלמר צ'פמן.

עריכה | תבנית | שיחה
39
-
הוספה
40 ב-1637, על שולי עותק של הספר "אריתמטיקה" מאת דיופנטוס, כתב פייר דה פרמה את המשפט הבא: עבור n טבעי גדול מ-2, לא קיימים מספרים טבעיים x,y,z המקיימים את המשוואה: , ללא הוכחה, ובצירוף הערה: "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט הזה שהשוליים הללו צרים מלהכיל". המשפט הפך לאחד המשפטים המפורסמים בתורת המספרים, אך לאחר ניסיונות כה רבים להוכיח או להפריך אותו, בתחילת המאה ה-20 הוא נראה אתגר קשה עד בלתי אפשרי בעיני קהילת המתמטיקאים. עניין מחודש בבעיה עורר התעשיין היהודי-גרמני פאול וולפסקהל, שהיה מתמטיקאי חובב, והקצה בצוואתו 100,000 מרקים למוכיח המשפט. עם פטירתו וגילוי דבר הצוואה (1908), הפכה הזכייה בפרס וולפשקל ליעדם של חובבים רבים, שטענו שמצאו הוכחה למשפט, אך הוכחתם הייתה שגויה. מכתבים כה רבים ושגויים נשלחו לאוניברסיטת גטינגן כדי לזכות בפרס, עד שפרופסור אדמונד לנדאו נהג לתת לסטודנטים שלו למלא מכתב סטנדרטי עם מספרי העמוד והשורה בהם נמצאה הטעות הראשונה. מרטין גרדנר מספר על שיטות יצירתיות אף יותר: שליחת המכתב בחזרה והפניה לחובבן הקודם ששלח מכתב כבר סמכא, או התשובה "יש לי הפרכה נפלאה להוכחה שלך, אבל לרוע המזל הנייר הזה צר מלהכילה". עריכה | תבנית | שיחה
41
סודוקו

משחק החידה סוּדוֹקוּ, ראשי תיבות ביפנית למשפט: "המספרים חייבים להופיע פעם אחת", הוא שעשוע מתמטי הדורש מחשבה ולוגיקה, ומבוסס על ריבוע לטיני בגודל 9, עם דרישה נוספת על הספרות בתשעה תת-ריבועים בגודל 3. משחקי השלמה של ריבוע קסם הופיעו לראשונה בעיתונים בצרפת בשלהי המאה ה-19. ב-1892 פרסם עיתון בפריז ריבוע קסם בגודל 9X9 ממולא חלקית שהיו בו חלק מתכונות הסודוקו. גרסה נוספת, דומה יותר לסודוקו המודרני, הופיעה כעבור שלוש שנים בעיתון צרפתי מתחרה. המשחק במתכונתו הנוכחית הופיע לראשונה ב-1979 באחד המגזינים של דל (Dell). גרסה זו הומצאה על ידי הווארד גארנס (Howard Garns), ארכיטקט אמריקאי בן 74 שפרש לגמלאות. המשחק זכה להצלחה רבה ביפן בשנות ה-80, והתפשט בעולם, וגם בישראל, החל מסוף 2004.

עריכה | תבנית | שיחה
42
איקוסיטטרהדרון

לכמה מסוגי המינרלים יש מבני גביש מורכבים מאוד. כך למשל למינרלים לוסיט, אנלציט ולכמה מסוגי הגארנט יש מבנה בצורת פאון בעל 24 פאות זהות, שצורתן דלתון הקרוי איקוסיטטרהדרון. למינרל קלציט, המרכיב העיקרי בסלעי הגיר ו"האבן" אותה אנו פוגשים בתחתית הקומקום והסותמת את צינורות המים החמים, יש מבנה פשוט של מעוינון, אבל הוא מצוי בטבע גם כסקלנוהדרון, פאון בעל 12 פאות.

עריכה | תבנית | שיחה
43
שני עמודים מלוח לוגריתמים. העמוד הימני מציג, בדיוק של 10 ספרות מימין לנקודה, את הלוגריתמים של המספרים הטבעיים מ-600 עד 850

לוח לוגריתמים הוא טבלה המכילה את הלוגריתמים לפי בסיס 10 של סדרה של מספרים. לוח לוגריתמים היה כלי עזר עיקרי לביצוע פעולות כפל במספרים מרובי ספרות, קודם להמצאתם של המחשב והמחשבון, המאפשרים עריכת פעולות אלה בקלות רבה.

הרעיון הבסיסי מאחורי השימוש בלוח לוגריתמים הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה (בנוסחה: ). כלל זה מאפשר להחליף פעולת כפל, שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. סרגל חישוב פועל על פי עיקרון זהה, ולמעשה מבצע באופן מכני פעולה המקבילה לכפל באמצעות לוח לוגריתמים.

עריכה | תבנית | שיחה
44
המספרים מ-0 ועד 19, בספרות המאיה

בכתיבה לפי בסיס , גודלה של הספרה הנמצאת במקום במספר הוא . כך, למשל, במספר בבסיס עשרוני גודלה של הספרה הוא ובבסיס בינארי, גודלה של הספרה השמאלית ביותר במספר הוא . עם זאת, בקרב בני המאיה, אשר עשו שימוש בבבסיס עשרים, התקיימה באופן ייחודי הנוסחה .

להרחבה ראו היסטוריה של האריתמטיקה

עריכה | תבנית | שיחה
45
הסמליל של גוגל

e הוא מספר טרנסצנדנטי וקבוע מתמטי חשוב בעל שימושים רבים באנליזה מתמטית, ומשמש כבסיס הלוגריתם הטבעי, אם כי אינו מוכר כמו π. חברת גוגל, בעלת מנוע החיפוש הנפוץ ביותר, ציינה בבקשתה הראשונה להנפקת ניירות ערך, את סכום ההנפקה בסכום לא עגול של 2,718,281,828 דולר, כלומר e מיליארד דולר, בקירוב. גם הגרסאות של תוכנת Metafont ממוספרות במספרים 2, 2.7, 2.71, וכן הלאה, כך שילכו ויתקרבו ל-e. רעיון המספור על פי מספר אוילר הוא פרי מוחו של ממציא התוכנה, מדען המחשב דונלד קנות', שנחשב "משוגע לדבר".

עריכה | תבנית | שיחה
46 העיסוק בשאלה 'מהי אמת' העסיק את הפילוסופיה במשך אלפי שנים, וסביבו מבוסס ענף הלוגיקה. במאה ה-20 נוסתה גישה חדשה לשאלה העתיקה הזאת, בניסיון לזהות משפט נכון כמשפט בר הוכחה. הרעיון, הקרוי 'הפרוגרמה של הילברט', היה לנסח בצורה פשוטה את האקסיומות הבסיסיות ואת הדרכים להגיע ממשפט נכון אחד לאחר.

הפרוגרמה הזאת נחלה מפלה ניצחת בזכות עבודותיו של הלוגיקאי קורט גדל. גדל הצליח להראות שישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח אותם. ההוכחה של גדל, הנקראת משפטי האי שלמות של גדל מבוססת על וריאציה של פרדוקס השקרן. גדל הצליח ליצור את המשפט המתייחס לעצמו "המשפט הזה אינו בר הוכחה", וליצור פרדוקס.

עריכה | תבנית | שיחה
47
דיוקנו של ארכימדס על המדליה

מדליית פילדס היא הפרס החשוב והמכובד ביותר בענף המתמטיקה. המדליה נחשבת למקבילה לפרס נובל, שאינו קיים במתמטיקה. הפרס מוענק אחת לארבע שנים לעד ארבעה מתמטיקאים מתחת לגיל ארבעים, ונועד לתת הערכה ועידוד למתמטיקאים צעירים שהגיעו להישגים יוצאי דופן. הענקת הפרס נעשית במסגרת הכנס הבינלאומי של האיגוד המתמטי הבינלאומי. הפרס ניתן לראשונה בשנת 1936, והוא ניתן באופן סדיר החל משנת 1950, ביוזמתו של המתמטיקאי הקנדי ג'ון צ'ארלס פילדס.

מגבלת הגיל של הפרס מנעה את הענקתו ב-1998 לאנדרו ויילס, המתמטיקאי שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה, אף שללא כל ספק היה ראוי לפרס. תחת זאת, ניתן לו פרס מיוחד בטקס הפתיחה של הכינוס באותה שנה.

עריכה | תבנית | שיחה
48
כדור החסום בגליל בעל גובה וקוטר זהים
  • על מצבתו של ארכימדס חרוט הישגו המתמטי המועדף - כדור החסום בגליל בעל גובה וקוטר זהים. ארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו של הכדור מהווים 2/3 מאלו של הגליל.
  • לודולף ואן צאולן חישב את π בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו.
עריכה | תבנית | שיחה
49
E-to-the-i-pi.svg

זהות אוילר היא השוויון הבא: . השוויון פורסם על ידי לאונרד אוילר בשנת 1748. השוויון מקשר בין חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים: המספרים 0 (איבר האפס של חיבור מספרים), 1 (איבר היחידה של כפל מספרים), e (בסיס הלוגריתם הטבעי), i (היחידה המרוכבת, מקיים: ) והקבוע פאי (, היחס בין היקף מעגל לבין קוטרו). עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.

עריכה | תבנית | שיחה
50

טור טיילור, הנקרא על שם מפתחו ברוק טיילור, הוא טור חזקות של פונקציה הגזירה "אינסוף פעמים". שימושיותו הרבה של הטור היא בכך שבמקרים רבים, על ידי סכימת מספר איברים סופי מבין איברי הטור, ניתן לקרב פונקציה נתונה, גם מסובכת, על ידי פולינום. טור טיילור של פונקציה מפותח סביב נקודה כלשהי וכאשר נקודה זו היא 0, אזי מכונה הטור "טור מקלורן", על שמו של המתמטיקאי קולין מקלורן. באופן מקרי למדי, הכללתו של הטור הכוללת גם חזקות שליליות נקראת "טור לורן", על שמו של המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.

עריכה | תבנית | שיחה
51
גאורג קנטור

השערת הרצף, שניסח מייסד תורת הקבוצות, גאורג קנטור, נחשבה לאחת הבעיות הפתוחות, החשובות במתמטיקה, ואף הייתה הראשונה ברשימת 23 הבעיות הפתוחות של המתמטיקה, שמנה דויד הילברט בשנת 1900. משך שנים קנטור ואחרים ניסו להוכיח את ההשערה, או להפריכה, אך לא הצליחו לעשות זאת. רק בשנת 1937 חלה התקדמות מסוימת במעמדה, כאשר קורט גדל הצליח להוכיח כי הנחת אמיתותה משתלבת במערכת האקסיומות המתמטיות המקובלות בלי לערערה. עם זאת, ב-1963, הראה פול כהן כי גם ההנחה ההפוכה, השוללת את השערת הרצף, משתלבת באותה מערכת בלי לערערה. כך בעצם הוכח שהשערת הרצף היא טענה מתמטית שאמיתותה אינה תלויה ביתר האקסיומות המקובלות, ובעצם היא טענה שלא ניתן להפריכה ולא ניתן להוכיחה.

עריכה | תבנית | שיחה
52
גאורג קנטור
ברטראנד ראסל

שני הפרדוקסים המרכזיים של תורת הקבוצות הנאיבית, פרדוקס קנטור ופרדוקס ראסל קשורים קשר הדוק.

פרדוקס קנוטור מבוסס על "קבוצת כל הקבוצות". לפי משפט קנטור קבוצת החזקה של "קבוצת כל הקבוצות" חייבת להיות גדולה בעוצמתה מ"קבוצת כל הקבוצות". מה שעומד בסתירה לכך שקבוצת החזקה היא תת-קבוצה של "קבוצת כל הקבוצות".

אם מנתחים את הוכחת משפט קנטור במקרה הזה, מגלים שנקדת המפתח היא חקר "קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן" אשר מוביל לסתירה. על "קבוצה" זאת מבוסס פרדוקס ראסל.

אפשר לומר כי פרדוקס ראסל הוא מיצוי של הסתירה מתוך פרדוקס קנטור.

עריכה | תבנית | שיחה
53
גאורג קנטור
לאופולד קרונקר

המתמטיקאי לאופולד קרונקר היה פיניטיסט(אנ') מושבע. הוא האמין שיש להימנע מבניות מתמטיות שמערבות את האינסוף, ועל אחת כמה וכמה אינסוף לא בן-מנייה. כך גם התנגד נחרצות לתורת הקבוצות שאותה פיתח המתמטיקאי גאורג קנטור, בן זמנו של קרונקר.

במסגרת אידאולוגיה זאת טבע את האמרה:

אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם

כיום נהוג להשתמש בציטוט כדי לציין שבניות רבות במתמטיקה מתבססות על מושג המספרים הטבעיים (לרבות מושגים אינסופיים בעליל כמו המספרים הממשיים). פרפרזה מודרנית על הציטוט הזה המשויכת לאסכולת בורבקי אומרת:

אלוהים יצר את הקבוצה הריקה, כל היתר הוא מעשה האדם

גרסה זאת מתקשרת לכך שמנקודת המבט של תורת הקבוצות האקסיומטית כל איבר בקבוצה צריך להיות קבוצה בפני עצמו. מכאן שרק הקבוצה הריקה לא מתבססת על קבוצות אחרות. למשל, מנקודת מבט זאת, נהוג לתאר את קבוצת המספרים הטבעים כך:

תורת הקבוצות האקסיומטית היא הפיתוח המודרני של תורתו של קנטור, בה קרונקר נלחם בלהט.

עריכה | תבנית | שיחה
54 קחו מספר תלת-ספרתי כלשהו, שאינו פלינדרום. הפכו את סדר ספרותיו וחסרו את המספר הקטן יותר מהגדול יותר. הפכו את סדר ספרותיה של התוצאה וחברו עמה את המתקבל (התייחסו למספר דו-ספרתי כמספר תלת-ספרתי, למשל אל 99 כאל 099). התוצאה שתקבלו, לא משנה מהו המספר שבחרתם בתחילת החישוב, היא 1089. עריכה | תבנית | שיחה
55
המחשה לבעיית מונטי הול

פרדוקס מונטי הול: כדי לזכות במכונית, עליך לנחש מאחורי איזו דלת, מבין שלוש דלתות, היא הוחבאה. אתה מנחש, אך במקום לפתוח בפניך את הדלת בה בחרת, פותחים בפניך את אחת האחרות. מתברר, שמאחורי הדלת שפתחו, המכונית לא מוחבאת. כעת עליך להחליט אם לדבוק בניחוש הקודם שלך, או לנחש שהמכונית מוחבאת מאחורי הדלת האחרת, מבין השתיים בהן לא בחרת – מאחורי זו מהן, שנשארה סגורה. מה עליך לעשות? אם אינך מחליף את הדלת בה בחרת, האם למעשה סיכויי הזכייה שלך נותרים כשהיו - שליש? ואם כך, האם סיכוייך לזכות במקרה שכן תחליף את בחירתך, הם אחת פחות שליש, דהיינו שני שלישים? ואולי, בין אם תחליף את הדלת בה בחרת ובין אם לא, למעשה אתה בוחר מחדש בין שתי דלתות, וסיכויי הצלחתך הם חצי?

עריכה | תבנית | שיחה
56
-
הוספה
57
-
הוספה
58
-
הוספה
59
-
הוספה
60
-
הוספה
61
-
הוספה
62
-
הוספה
63
-
הוספה