פורטל:מתמטיקה/נוסחה נבחרת/אוסף

נוסחה נבחרת

גאומטריה בסיסית

1

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

משפט פיתגורס. אחד המשפטים המנוסחים הראשונים בהיסטוריה של המתמטיקה.

אלגברה בסיסית

2

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

נוסחה לריבוע הסכום. אחת הנוסחאות הראשונות שלומדים באלגברה בית סיפרית. הנוסחה שימושית לביצוע מניפולציות אלגבריות פשוטות, והיא עומדת בבסיס של אחת השיטות לפתרון משוואה ריבועית - השלמה לריבוע

---

3

$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$

נוסחה להפרש של שני ריבועים. נוסחה בסיסית באלגברה. כמו יתר הנוסחאות באלגברה בסיסית, פיתוח הנוסחה פשוט מאוד ומבוסס על חוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף. אולם שימוש בנוסחה "לכיוון השני" מימין לשמאל מאפשר לבצע מניפולציות לא טריוויאליות משום שהוא מחליף ביטוי שעל פניו לא נראה פריק, במכפלה של שני ביטויים פשוטים יותר. על נוסחה זו מבוסס טריק שנקרא מכפלה בצמוד

---

4

$$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$$

הבינום של ניוטון. הנוסחה הייתה ידועה זמן רב לפני תקופתו של ניוטון, אולם ניוטון היה הראשון שפיתח הכללה שלה עבור $n$ לא שלם, כחלק מהפיתוח של החדו"א. הנוסחה המקורית שימושית באלגברה וההכללה שלה שימושית גם באנליזה. ראו גם: משולש פסקל ומקדמי הבינום.

---

5

$$x=-{\frac {b}{a}}$$

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

$${\begin{aligned}x_{1,2,3}=-{\frac {b}{3a}}&+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}\end{aligned}}$$

נוסחאות למציאת פתרונות למשוואות פולינומיות ממעלות 1 עד 4. השורשים ממעלה שלישית הם אלגבריים, זאת אומרת שניתן להציב במקומם כל אחד משלושת השורשים המרוכבים. עם זאת בשתי הנוסחאות האחרונות, לא כל הצבה כזאת (כמו גם בחירה של הסימן $\pm$) תיתן שורש, אבל כל שורש אפשר לקבל כהצבה. הנוסחה האחרונה לא תקפה כשהמכנים מתאפסים, יש נוסחאות שונות למקרים אלה. שתי הנוסחאות האחרונות נחשבות לאחד ההישגים המשמעותיים של המתמטקה של הרנסאנס. בגלל החזרות הרבות, אפשר לפשט משמעותית את שתי הנוסחאות הארחונות אם מכניסים סימוני עזר בשביל חלקים של הנוסחה שחוזרים על עצמם. לפי תורת גלואה, לא ניתן לפתח נוסחאות המבוססות על ארבע פעולות החשבון ושורשים עבור משוואות ממעלה גבוהה יותר.

מספרים מרוכבים

6

$$e^{i\pi }+1=0$$

זהות אוילר. זהות הקושרת בין חמישה קבועים מרכזיים במתמטיקה: 0, 1, i, $\pi$ ו - $e$, באמצעות שלוש פעולות בסיסיות: חיבור, כפל וחזקה.

---

7

$$e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$$

נוסחת אוילר. נוסחה המבארת את מושג החזקה עבור מספרים מרוכבים.

תורת המספרים

8

$$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\prod _{p-{\text{ ינושאר}}}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}$$

נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן. הנוסחה עומדת בבסיסה של תורת המספרים האנליטית ומאפשרת לקבל מידע רב על ההתפלגות של מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת של פונקציית זטא של רימן.

---

9

$$\sum _{n\in \mathbb {N} ;\,p-{\text{ ינושאר}};\,p^{n}<x}\ln(p)=-\ln(2\pi )-\sum _{\rho \in \mathbb {C} }\mathrm {ord} _{\rho }\zeta \cdot {\frac {x^{\rho }}{\rho }}$$

הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד. נוסחה לפונקציה השנייה של צ'בישב באמצעות אפסים (והקטבים) של פונקציית זטא של רימן. הפונקציה השנייה של צ'בישב סופרת באופן ממושקל את חזקות הראשוניים עד לערך נתון. מנוסחה זאת קל יחסית להסיק נוסחאות מפורשות לפונקציית המספרים הראשוניים $\pi (x)$. בצורה זאת הנוסחה תקפה רק עבור $x>0$ לא שלם. נוסחה זאת ודומת לה סללו את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.

---

10

$$\lim {\frac {\#\{p-{\text{ינושאר}}|1<p<n\}}{\frac {n}{ln(n)}}}=1$$

משפט המספרים הראשוניים מספק קירוב למציאת מספר המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון.

אנליזה

11

$\int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

$\int _{\gamma }({\vec {\nabla }}f)\cdot {\vec {\mathrm {d} r}}=f(\gamma (b))-f(\gamma (a))$

$\oint _{\partial D}(P\,\mathrm {d} x+Q\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

$\iiint _{U}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}})\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial U}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}$,

$\oint _{\partial A}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} l}}=\iint _{A}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}$

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega$

---

12

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

נוסחה המספקת קירוב לפונקציית העצרת עבור מספרים טבעיים. הביטוי $O\left({\frac {1}{n}}\right)$ מסמן פונקציה כלשהי הקטנה אסימפטוטית מ${\frac {1}{n}}$.

---

13

$(z-1)!:=\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx,\ \qquad \Re (z)>0$

פונקציית גמא, הכללה של פונקציית העצרת לכל מספר מרוכב שאינו מספר שלם שלילי.

טורים

14

• $\sum _{n=1}^{N}n={\frac {N(N+1)}{2}}$
• $\sum _{n=1}^{N}n^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}$
• $\sum _{n=1}^{N}n^{3}={\frac {N^{2}(N+1)^{2}}{4}}=\left(\sum _{n=1}^{N}n\right)^{2}$

נוסחאות למציאת סכום המספרים הקטנים ממספר טבעים נתון, או סכום ריבועי המספרים הללו, או סכום המספרים הללו בחזקת 3.

---

15

$\sum _{n=0}^{N}q^{n}={\frac {1-q^{N+1}}{1-q}}$

---

16

• מגוון נוסחאות ל-$\pi$
  • $${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$$
  • $$\pi ={\frac {3}{4}}{\sqrt {3}}+24\left({\frac {1}{12}}-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(2n-2)!}{(n-1)!^{2}(2n-3)(2n+1)2^{4n-2}}}\right)$$
  • $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}$
  • ${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(6q)!(545140134q+13591409)}{(3q)!(q!)^{3}\left(640320\right)^{3q+3/2}}}$
  • $\zeta (2):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
  • $${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$$
  • ${\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,$
  • $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$ (see also Wallis product)
  • $\left({\frac {1}{2}}\right)!:=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right):=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}e^{-x}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

טופולוגיה אלגברית

17

• $V-E+F=2$
• $$\forall X,Y\in \mathrm {Schemes} ,\phi :X\to Y-{\text{ proper}},{\mathcal {F}}\in K_{0}(X).$$

$$\mathrm {ch} (\phi _{!}({\mathcal {F}}))=\phi _{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}})\cdot \mathrm {td} (T_{\phi }))\in \mathrm {Chow} (Y)$$

• $$\forall X\in C^{\infty }-\mathrm {Manifolds} ,E,F\in \mathrm {Bun} (X),D\in \mathrm {Diff} _{elliptic}(E,F).$$

$$\dim \mathrm {Ker} (D)-\dim \mathrm {coKer} (D)=\langle \mathrm {ch} (D),\mathrm {td} (X)\rangle$$

תורת החבורות

• $X\cong \coprod _{x\in G\backslash X}G/G_{x}$
• $$\sum _{\rho \in \mathrm {irr} (G)}\dim ^{2}\rho =|G|$$
• $$|\mathrm {irr} (G)|=|\mathrm {Ad} (G)\backslash G|$$
• $$a^{\varphi (n)}=1\mod n$$

$$g^{|G|}=1\in G$$

< בחזרה לפורטל