פנים (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p.

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה ב- או ב-.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

  • תהא קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, , בתור קבוצת כל הנקודות כך שקיימת קבוצה פתוחה כך ש- - כלומר, הקבוצה היא סביבה של .
  • תהא קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-.
  • תהא קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: .

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נחשב את הפנים של הקטע הסגור בישר הממשי.

ולכן הפנים של הוא הקטע הפתוח .

תכונות הפנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

  • כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן .

חוץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוץ של קבוצה , המסומן , מוגדר כפנים של המשלים שלה: . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: .

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]