צפיפות (תורת המספרים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

תורת המספרים עוסקת בין השאר בקבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים, ובהשוואה ביניהן. למשל, "מובן מאליו" שיש "יותר" מספרים זוגיים, מאשר מספרים ריבועיים; בקבוצת המספרים הטבעיים שעד מיליון יש חצי-מיליון מספרים זוגיים, ורק אלף מספרים ריבועיים.

טיפול מתמטי מסודר בשאלות כאלה נעשה בעזרת מושג הצפיפות, שאפשר להגדיר בכמה דרכים.

ההגדרה הפשוטה ביותר היא של צפיפות טבעית: נניח ש- A קבוצה של מספרים טבעיים. את הרישות שלה מסמנים ב- . העוצמה של הרישא מקיימת , וההשוואה בין הקבוצה A לקבוצת כל המספרים נעשית דרך הסדרה . הגבול של סדרה זו (אם הוא קיים) נקרא בשם "הצפיפות הטבעית של הסדרה". צפיפות זו (אם קיימת) היא בהכרח מספר בין 0 ל-1. אם הגבול אינו קיים, אין לקבוצה צפיפות טבעית. במקרה זה אפשר להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון של הסדרה שקיימים תמיד, לתיאור הצפיפות; אולם מערכי גבולות אלה קשה יותר להסיק על תכונות הקבוצה.

בתורת המספרים האנליטית שכיחה יותר צפיפות דיריכלה, המכלילה את הצפיפות הטבעית: אם לקבוצה יש צפיפות טבעית, אז יש לה גם צפיפות דיריכלה, והן שוות. בתורת המספרים האדיטיבית נעזרים במושג אחר של צפיפות, הנקרא צפיפות שנירלמן.