קבוצה תחתונה וקבוצה עליונה

במתמטיקה, ובפרט בתורת הסדר, קבוצה תחתונה היא תת-קבוצה של קבוצה סדורה שמכילה את כל האיברים הקטנים מהאיברים בה. באופן דומה, קבוצה עליונה היא תת-קבוצה של קבוצה סדורה בקדם סדר שמכילה את כל האיברים הגדולים מהאיברים בה.

לקבוצות מסוג זה חשיבות רבה בתחומים רבים במתמטיקה, כגון טופולוגיה, אנליזה מתמטית ותורת המספרים, והן עוזרות לנסח תכונות חשובות של מודלים מתמטיים.

הגדרה

תהי קבוצה סדורה בקדם-סדר $(P,\leq )$. אזי:

• קבוצה $L\subseteq P$ תקרא קבוצה תחתונה ב-$P$ אם ורק אם לכל $x\in L$ ולכל $y\in P$ המקיים $y\leq x$, מתקיים גם ש-$y\in L$.
• קבוצה $U\subseteq P$ תקרא קבוצה עליונה ב-$P$ אם ורק אם לכל $x\in U$ ולכל $y\in P$ המקיים $x\leq y$, מתקיים גם ש-$y\in U$.

במילים אחרות, קבוצה תחתונה היא קבוצה שסגורה כלפי מטה, בעוד קבוצה עליונה היא קבוצה שסגורה כלפי מעלה.

תכונות

• כל איחוד או חיתוך (סופי, בן-מנייה או מכל עוצמה שהיא) של קבוצות עליונות הוא קבוצה עליונה.
• כל איחוד או חיתוך (סופי, בן-מנייה או מכל עוצמה שהיא) של קבוצות תחתונות הוא קבוצה תחתונה.
• המשלים של קבוצה עליונה הוא קבוצה תחתונה, ולהפך.
• תהי קבוצה סדורה בקדם סדר $(P,\leq )$ ו-$A\subseteq P$. אזי, $A$ קבוצה עליונה לפי $\leq$ אם ורק אם היא קבוצה תחתונה לפי $\geq$ (היחס ההפוך). באופן דומה, $A$ קבוצה תחתונה לפי $\leq$ אם ורק אם היא קבוצה עליונה לפי $\geq$ .
• הקבוצה הריקה היא קבוצה עליונה ותחתונה באופן ריק.
• כל קבוצה סדורה בקדם סדר היא קבוצה עליונה ותחתונה בעצמה.

סגור מטה וסגור מעלה

תהי קבוצה סדורה בקדם סדר $(P,\leq )$ ויהי $x\in P$. מגדירים:

$\downarrow \!x:=\{a\in P\mid a\leq x\},\qquad \uparrow \!x:=\{a\in P\mid x\leq a\}$

הקבוצה $\downarrow \!x$ נקראת הסגור מטה של $x$ והקבוצה $\uparrow \!x$ נקראת הסגור מעלה של $x$.

ניתן להראות כי $\downarrow \!x$ היא קבוצה תחתונה ו-$\uparrow \!x$ היא קבוצה עליונה. יתרה מזאת, $\downarrow \!x$ היא הקבוצה התחתונה המינימלית המכילה את $x$ ו-$\uparrow \!x$ היא הקבוצה העליונה המינימלית המכילה את $x$.

כעת, עבור $A\subseteq P$ כלשהי, מגדירים:

$\downarrow \!A:=\{y\in P\mid \exists x\in A,y\leq x\},\qquad \uparrow \!A:=\{y\in P\mid \exists x\in A,x\leq y\}$

הקבוצה $\downarrow \!A$ נקראת הסגור מטה של $A$ והקבוצה $\uparrow \!A$ נקראת הסגור מעלה של $A$.

ניתן להראות כי $\downarrow \!A$ היא קבוצה תחתונה ו-$\uparrow \!A$ היא קבוצה עליונה. יתרה מזאת, $\downarrow \!A$ היא הקבוצה התחתונה המינימלית המכילה את $A$ ו-$\uparrow \!A$ היא הקבוצה העליונה המינימלית המכילה את $A$. ניתן להסיק מכך כי $A$ היא קבוצה עליונה אם ורק אם $\uparrow \!A=A$ וכי $A$ היא קבוצה תחתונה אם ורק אם $\downarrow \!A=A$.

ניתן להוכיח כי $\downarrow$ ו-$\uparrow$ כפונקציות מ-${\mathcal {P}}(P)$ לעצמה (${\mathcal {P}}(P)$ היא קבוצת החזקה של $P$) מהוות שתיהן אופרטורי סגור ושתיהן מקיימות את אקסיומות הסגירות של קורטובסקי (Kuratowski closure axioms). הדבר מצביע על כך שאוסף הקבוצות התחתונות (העליונות) יכולות להוות אוסף הקבוצות הסגורות של מרחב טופולוגי כלשהו. מרחב זו הוא טופולוגיית אלקסנדרוב (ראו פירוט למטה).

חסמים מלמטה וחסמים מלמעלה

תהי קבוצה סדורה בקדם סדר $(P,\leq )$ ויהי $A\subseteq P$. מגדירים:

$A^{\operatorname {lb} }:=\{y\in P\mid \forall x\in A,y\leq x\},\qquad A^{\operatorname {ub} }:=\{y\in P\mid \forall x\in A,x\leq y\}$

במילים אחרות, $A^{\operatorname {lb} }$ הוא אוסף כל החסמים מלמטה של $A$, ו-$A^{\operatorname {ub} }$ הוא אוסף כל החסמים מלמעלה של $A$. ניתן להראות שלכל $A$ כנ"ל $A^{\operatorname {lb} }$ היא קבוצה תחתונה ו-$A^{\operatorname {ub} }$ הוא קבוצה עליונה. ניתן להוכיח כי לכל קבוצה תחתונה $L\subseteq P$ מתקיים ש-$(L^{\operatorname {ub} })^{\operatorname {lb} }=L$ ושלכל קבוצה עליונה $U\subseteq P$ מתקיים ש-$(U^{\operatorname {lb} })^{\operatorname {ub} }=U$.

אם מסתכלים על $\cdot ^{\operatorname {lb} }$ ו-$\cdot ^{\operatorname {ub} }$ כפונקציות מ-${\mathcal {P}}(P)$ לעצמה, ניתן להוכיח כי הזוג $(\cdot ^{\operatorname {lb} },\cdot ^{\operatorname {ub} })$ הוא התאמת גלואה, מה שאומר שההרכבות $\operatorname {lb} \circ \operatorname {ub}$ ו-$\operatorname {ub} \circ \operatorname {lb}$ שתיהן אופרטורי סגור. מכיוון ש-${\mathcal {P}}(P)$ היא סריג שלם, התמונה של $\operatorname {ub} \circ \operatorname {lb}$ היא גם סריג שלם. מסמנים את תמונה זו ב-$\operatorname {DM} (P)$ וקוראים לה השלמת דדקינד-מקניל (Dedekind–MacNeille completion).

ניתן להוכיח כי $\operatorname {DM} (P)$ הוא הסריג השלם המינימלי ש-$P$ משוכן סדר בו. כלומר:

• קיים שיכון סדר $\varphi :P\to \operatorname {DM} (P)$
• אם $L$ היא סריג שלם וקיים שיכון סדר $\psi :P\to L$, בהכרח קיים שיכון סדר $\psi ^{\star }:\operatorname {DM} (P)\to L$.

השלמת דדקינד-מקניל היא הכללה של שיטת חתכי דדקינד לבניית המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים.

סריג הקבוצות התחתונות וסריג הקבוצות העליונות

תהי קבוצה סדורה $(P,\leq )$. מסמנים ב-${\mathcal {J}}(P)$ את קבוצת כל הקבוצות התחתונות שלה.

מאחר ש-${\mathcal {J}}(P)$ היא קבוצה של תת-קבוצות של $P$, ניתן לסדר אותה באמצעות יחס ההכלה $\subseteq$. כלומר ש-$({\mathcal {J}}(P),\subseteq )$ היא קבוצה סדורה. יתרה מזאת, מכיוון וכל איחוד או חיתוך של קבוצות תחתונות ב-$P$ הוא קבוצה תחתונה ב-$P$, מתקבל ש-$({\mathcal {J}}(P),\subseteq )$ הוא סריג שלם. לבסוף, מכיוון שפעולת החיתוך ופעולת האיחוד שתיהן מתפלגות זו מעל זו, $({\mathcal {J}}(P),\subseteq )$ הוא סריג פילוגי (דיסטרבוטיבי).

עולה כי מכל קבוצה סדורה שהיא, ניתן להשתמש בקבוצות התחתונות שלה כדי לבנות סריג פילוגי שלם. משפט ההצגה של בירקהוף (Birkhoff's representation theorem) טוען טענה הפוכה: אם סריג סופי $(L,\leq _{L})$הוא פילוגי, קיימת קבוצה סדורה כלשהי $(P,\leq _{P})$ כך ש-$(L,\leq _{L})$ ו-$({\mathcal {J}}(P),\subseteq )$ איזומורפים סדר.

באופן דומה לאמור לעיל, לכל קבוצה סדורה $(P,\leq )$ הקבוצה ${\mathcal {U}}(P)$ שהיא קבוצת כל הקבוצות העליונות שלה עם יחס הסדר $\subseteq$ היא סריג שלם פילוגי. קיימת גרסה של משפט ההצגה של בירקהוף גם לסריג הקבוצות העליונות.

מסנן

ערך מורחב – מסנן (מתמטיקה)

בהינתן קבוצה סדורה בקדם סדר $(P,\leq )$ ותת-קבוצה $F\subseteq P$, הקבוצה $F$ תקרא מסנן אם ורק אם היא קבוצה עליונה ב-$P$ שהיא גם מכוונת למטה. בנוסף, $F$ יקרא על-מסנן אם ורק אם $F\neq P$ וגם הוא מסנן מקסימלי ב-$P$ (ששונה מ-$P$ עצמה).

למסננים חשיבות רבה במתמטיקה והם מאפשרים להוכיח תכונות חשובות של מבנים מתמטיים רבים. כך לדוגמה, משפט לוס הוא משפט בלוגיקה מתמטית הקובע שבהינתן על-מכפלה, שמוגדרת באמצעות על-מסנן, כל נוסחה מסדר ראשון שנכונה בעל-מכפלה, נכונה גם בקבוצת מודלים שקבוצת האינדקסים שלה נמצאת בעל-מסנן.

ניתן להראות כי $\uparrow \!x$ כפי שהוגדר לעיל הוא תמיד מסנן, אך לא בהכרח על-מסנן. לעומתו, $\uparrow \!A$ כפי שהוגדר למעלה אינו בהכרח מסנן.

טופולוגיית אלקסנדרוב

בהינתן קבוצה סדורה בקדם סדר $(P,\leq )$, מגדירים את ${\displaystyle \tau$ :={\mathcal {U}}(P)} להיות קבוצת כל הקבוצות העליונות של $P$. ניתן להוכיח כי $\tau$ הוא טופולוגיה על $P$ עם התכונה שכל חיתוך של קבוצות פתוחות, מכל עוצמה שהיא, הוא קבוצה פתוחה. תכונה זו עומדת בניגוד לתכונה של מרחב טופולוגי סטנדרטי שבו רק חיתוכים סופיים של קבוצות פתוחות יוצרים קבוצה פתוחה.

לטופולוגיה שבה כל חיתוך של קבוצות פתוחות, גם כזה שאינו סופי, הוא קבוצה פתוחה קוראים טופולוגיית אלקסנדרוב (Alexandrov topology). אם כך, הבנייה לעיל מראה שקבוצת הקבוצות העליונות יוצרת טופולוגיית אלקסנדרוב.

ההפך נכון גם הוא: מכל טופולוגיית אלקסנדרוב ניתן ליצור קדם סדר שעבורו הקבוצות העליונות הן בדיוק הקבוצות הפתוחות של הטופולוגיה.

כלומר, קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל מכל קדם סדר לטופולוגיית אלקסנדרוב באופן זה.

דוגמאות

• קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה עליונה בתוך קבוצת המספרים השלמים לפי יחס הסדר "קטן או שווה ל-"
• קבוצת המספרים הזוגיים היא קבוצה עליונה בתוך קבוצת המספרים הטבעיים לפי יחס הסדר "מחלק את"
• קבוצת המספרים החיוביים היא קבוצה עליונה בתוך קבוצת המספרים הממשיים לפי יחס הסדר "קטן או שווה ל-"
• בהינתן קבוצה אינסופית כלשהי $A$, קבוצת החזקה ${\mathcal {P}}(A)$ היא קבוצה סדורה תחת הסדר $\subseteq$. מסתכלים על הקבוצה ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(A)$ שהיא קבוצת כל הקבוצות הסופיות ב-${\mathcal {P}}(A)$. קבוצה זו היא קבוצה תחתונה ב-${\mathcal {P}}(A)$.
• מסתכלים על קבוצת הפונקציות $L:=L^{2}([0,1],\mathbb {R} )$ (מרחב L2). מסדרים את $L$ ביחס סדר "קטן או שווה ל-" שפועל איבר-איבר ($f\leq g$ אם ורק אם $f(x)\leq g(x)$ לכל $x\in [0,1]$). מסמנים ב-$L'$ את קבוצת כל הפונקציות ב-$L$ שהאינטגרל שלהם על הקטע $[0,1]$ הוא חיובי. קבוצה זו היא קבוצה עליונה ב-$L$.