קבוצת מנדלברוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ייצוג גאומטרי של קבוצת מנדלברוט
סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט

קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים. למרות ההגדרה הפשוטה, תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת השפה מופיעה התנהגות פרקטלית של דמיון-עצמי בכל קנה מידה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979, וקרויה על שמו.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא. לכל מספר מרוכב c, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון \ a_0(c)=0, והמשכה מחושב על-פי הכלל \ a_{n+1}(c)=a_n(c)^2+c. הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של c.

קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים c \in \mathbb{C} שעבורם הסדרה \ a_n(c) חסומה. מנקודת מבט שונה במקצת, לכל c, מוגדרת קבוצת ג'וליה \ J_c כשפה של קבוצת הנקודות \ z \in \mathbb{C} שעבורן הסדרה \ f_c^n(z) חסומה (כאשר \ f_c(z) = z^2+c). ג'וליה ו-Fatou הוכיחו שאם הסדרה \ f_c^n(0) חסומה (כלומר c שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז \ J_c קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז \ J_c בלתי קשירה לחלוטין.

הצגת הקבוצה כפרקטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה \ a_n(c) חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים - 2 בדרך כלל.

הדגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד.

התחלה
שלב 1
שלב 2
שלב 3
שלב 4
שלב 5
שלב 6
שלב 7
שלב 8
שלב 9
שלב 10
שלב 11
שלב 12
שלב 13
שלב 14

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]