קבוצת מנדלברוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ייצוג גאומטרי של קבוצת מנדלברוט
סרטון זום לתוך קבוצת מנדלברוט
Mandelbrot sequence new.gif

קבוצת מנדלברוט היא קבוצה של מספרים מרוכבים. למרות ההגדרה הפשוטה, תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת השפה מופיעה התנהגות פרקטלית של דמיון-עצמי בכל קנה מידה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979, וקרויה על שמו. הקבוצה מהווה אובייקט מחקר בסיסי ומעניין בתחום מחקר הפרקטלים, ובעזרתה חוקרים תופעות במערכות דינמיות מרוכבות.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת מנדלברוט הינה אחד הנושאים הנחקרים בתחום הפרקטלים, שהחל לתפוס תאוצה בתחילת המאה ה-20, אשר מאבותיו ניתן למנות את פייר פטו וגסטון ג'וליה. קבוצת מנדלבורט תוארה לראשונה על ידי המתמטיקאי רוברט ברוקס בשנת 1978. בשנת 1980 גילה בנואה מנדלברוט את הקבוצה תוך ביצוע אנימציות של קבוצת ג'וליה במחשב, וכתב מאמר ראשוני בו היא נכללה. בשנת 1985 פרסמו שני מתמטיקאים נוספים מאמר נרחב על קבוצה זו, וקרו לה על שם מנדלברוט. בהמשך, הפכה קבוצת מנדלבורט לאובייקט מחקר בסיסי בתורת המערכות הדינמיות המרוכבות.

החל משנת 1985 הפך עניין שרטוט קבוצת מנדלבורט למושא עניינם של רבים, וגם פורסמו אלגוריתמים לשרטוט הקבוצה ותמונות צבעוניות שלה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא: לכל מספר מרוכב c, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון , והמשכה מחושב על-פי הכלל . הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של c.

קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים שעבורם הסדרה חסומה. מנקודת מבט שונה במקצת, לכל c, מוגדרת קבוצת ג'וליה כשפה של קבוצת הנקודות שעבורן הסדרה חסומה (כאשר ). ג'וליה ו-Fatou הוכיחו שאם הסדרה חסומה (כלומר c שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז בלתי קשירה לחלוטין. משפט זה מוביל להגדרה שקולה נוספת של הקבוצה: זהו המקום הגאומטרי הקשיר(אנ') של משפחת הפולינומים , כלומר אוסף הנקודות עבורן קבוצת ג'וליה המתאימה היא קשירה.

הצגת הקבוצה כפרקטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האיברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים - 2 בדרך כלל.

הדגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד.

התחלה
שלב 1
שלב 2
שלב 3
שלב 4
שלב 5
שלב 6
שלב 7
שלב 8
שלב 9
שלב 10
שלב 11
שלב 12
שלב 13
שלב 14

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת מנדלברוט המוכללת עבור

את קבוצת מנדלברוט ניתן להכליל באופן הבא: במקום להביט בפונקציה ולהציב בה ערכים, מביטים בפונקציה הכללית , עבור ממשי כלשהו. כאשר הנו מספר שלם, המשפט אודות הקשר בין הגדרה זו להגדרה בעזרת קבוצת ג'וליה נשאר תקף.

כאשר משתנה, ניתן לשרטט את הקבוצה ולקבל תמונה שונה בכל פעם. כך למשל, כאשר נמצא בין 0 ל-5 (כמו בתמונה המצורפת), ניתן לראות את קבוצת מנדלברוט "נולדת" מכלום ומתפתחת.

קירוב לפאי בעזרת קבוצת מנדלברוט[עריכת קוד מקור | עריכה]

שימוש נוסף של קבוצת מנדלבורט הנו האפשרות לקרב את פאי בעזרת מונחים וכלים מנושא זה. כידוע, המספר הנו המספר הממשי הגדול ביותר בקבוצת מנדלבורט; עוד ידוע כי כל פעם שהסדרה חסומה, אז היא קטנה מ-2 בהכרח. כעת, לכל מספר ממשי , מסמנים ב- את מספר הפעמים שיש לבצע את האיטרציה עד שעוברים את 2, כלומר המספר הראשון כך ש-.

מסתבר שככל שמתקרבים ל-, הסדרה מתארת באופן קרוב יותר את הספרות בפיתוח העשרוני של פאי. במינוח פורמלי, הסדרה מתכנסת ל-.

נקודות נוספות בקבוצת מנדלברוט אשר מאפשרות לקרב את פאי כוללות נקודות הנמצאות על התפר בין הצורות של הקבוצה. עבור נקודות כאלו, המסלול אשר בעזרתו שואפים אל הנקודה משתנה ולרוב איננו כולל מספרים ממשיים.

הסבר אינטואיטיבי אודות הקשר בין קבוצת מנדלברוט לפאי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור הפונקציה הממשית , הישר משיק לפונקציה; לכן, בעת הפעלת התהליך של סדרת מנדלברוט, נוצרת מעין פונקציית מדרגה תחומה בין הפרבולה לבין הישר, אשר שואפת בגובהה אל אך לא מגיעה. לעומת זאת, בפוקנציה , הישר לא משיק אל הפרבולה, ולכן נוצרת ביניהם פונקציית מדרגה. במובן מסוים, פאי הוא את ה"זמן" שלוקח לאותה פונקציית מדרגה לעבור את .

הסבר נוסף הנו כלהלן: כאמור לעיל, הפונקציה הממשית עוברת את . צורת הגרף סביב ערך זה (בטווח) מתקרבת לצורה של פונקציית הטנגנס ככל שאפסילון קטן יותר. הקשר של פונקציה זו לפאי מעולם הטריגונומטריה ברור.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא קבוצת מנדלברוט בוויקישיתוף