קואליציה מהותית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קואליציה מהותית (essential coalition) הוא מושג בתורת המשחקים בתחום המשחקים השיתופיים המגדיר תכונה של קואליציה במשחק בצורה קואליציונית. חשיבות הקואליציות המהותיות בא לידי ביטוי בחישוב הליבה של המשחק.

סימונים:

  • קבוצה סופית של שחקנים.
  • היא פונקציה המתאימה לכל תת-קבוצה של שחקנים מספר ממשי ומקיימת .
  • נקראת הפונקציה הקואליציונית.
  • נסמן ב- את המשחק: .

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתחיל מהגדרת המושג קואליציה לא מהותית.

יהי משחק בצורה קואליציונית. קואליציה נקראת לא מהותית (inessential) במשחק אם קיימת חלוקה של שבה

כך שמתקיים .

קואליציה מהותית היא קואליציה שאינה לא מהותית.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. כל קואליציה הכוללת שחקן בודד הינה מהותית, מאחר שכל חלוקה כוללת את הקואליציה עצמה ותו לא. כלומר .
  2. כל קואליציה לא מהותית ניתנת לחלוקה לקואליציות מהותיות כך שמתקיים . אכן, תהי קואליציה שאינה מהותית. נבצע חלוקה כלשהי של , אם קיבלנו בחלוקה קואליציה שאינה מהותית נמשיך ונחלק גם אותה. תהליך זה הוא בהכרח סופי לפי תכונה 1.
  3. הקואליציה לאו דווקא מהותית. ממשפט שפלי-בונדרבה מסיקים כי כדי שהליבה לא תהיה ריקה, יש לדרוש כי לכל חלוקה של יתקיים .

לכן, במשחקים בהם הליבה איננה ריקה ו- איננה מהותית, בהכרח מתקיים שוויון בנוסחא לעיל לכל חלוקה של .

חשיבות בחישוב הליבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. לצורך חישוב הליבה של משחק , יש למצוא את כל וקטורי התשלומים כך ש:

וגם .

מדובר ב- אי שיוויונים ושוויון אחד שיש לפתור כדי למצוא את הליבה.


ניתן לראות כי אפשר להסתפק אך ורק באי השיוויונים עבור הקואליציות המהותיות. כלומר וקטור נמצא בליבה של אם ורק אם:

וגם לכל מהותית ב .


2. יהיו שני משחקים בצורה קואליציונית המקיימים ש לכל קואליציה מהותית ב- או ב- .

אז לשני המשחקים יש את אותן קואליציות מהותיות ואת אותה הליבה.


נוכיח זאת במספר שלבים:

א. נראה כי קואליציה היא קואליציה מהותית ב- אם ורק אם היא קואליציה מהותית ב-.

נניח שהטענה לא נכונה. תהי קואליציה מינימלית שהיא מהותית באחד המשחקים, ולא מהותית בשני .

כאשר המעבר האחרון נובע מההנחה ומכך ש מהותית לפי (מסעיף א נובע כי ניתן להציג את הסכום כך ש מהותיות לפי ).

כל הקואליציות הן תת-קואליציות ממש של , בסתירה.

ב. מכאן נסיק שאם אז הליבה של שווה לליבה של .

ג. נראה כי אם הליבות של ושל אינן ריקות אז .

יהי בליבה של , בליבה של .

- אם מהותית לפי או לפי אז מהתנאי .

- אם אינה מהותית לפי ולפי אז:

.

קיבלנו . באופן סימטרי נקבל ולכן בסה"כ .

מכך שהווקטורים יעילים נקבל ש .

נשים לב שמטענות ב ו-ג נובע כי אם הליבות של ושל אינן ריקות אז הן שוות זו לזו. קיבלנו כי לשני המשחקים הנ"ל יש את אותן הקואליציות המהותיות ואת אותה הליבה, כנדרש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]