פעולה קומוטטיבית

פעולה קומוטטיבית או פעולה חילופית היא פעולה בינארית המקיימת את התנאי $\ a*b=b*a$ לכל a, b (כאשר * הוא הסימן לפעולה).

פעולת החיבור של מספרים, למשל, היא פעולה קומוטטיבית, משום שלכל שני מספרים a,b מתקיים $\ a+b=b+a$. פעולת החיסור, לעומת זאת, אינה קומוטטיבית, משום שלמשל $\ 3-5\neq 5-3$.

קומוטטיביות (או העדרה) היא אחת התכונות הבסיסיות ביותר של מבנים אלגבריים. במבנים אלגבריים בעלי שתי פעולות בינאריות, כגון חוגים או שדות נהוג לסמן את הפעולה הקומוטטיבית הבסיסית בסימן + המשמש לחיבור מספרים. חבורה שבה הפעולה קומוטטיבית נקראת "חבורה אבלית" על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל שתרם לפיתוח תורת החבורות.

גם כאשר הפעולה אינה חילופית, נאמר על שני איברים כי הם מתחלפים ביחס לפעולה $*$ אם מתקיים $\ a*b=b*a$.

היעדר תלות באסוציאטיביות

אין קשר ישיר בין קומוטטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, אסוציאטיביות:

• ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR, XNOR).
• ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR ,NAND).
• ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי $\ a\#b=a$ או $\ a\$b=b$, או כפל מטריצות).
• ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).

ראו גם

• פונקציה סימטרית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פעולה קומוטטיבית בוויקישיתוף

• פעולה קומוטטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)