קטע אמצעים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קטע אמצעים במשולש הוא קו המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעות. קטע האמצעים מקביל בהכרח לצלע השלישית. אותה הגדרה חלה גם בטרפז, בו קטע האמצעים מחבר את אמצעי השוקיים, והוא מקביל לשני הבסיסים.

קטע האמצעים במשולש[עריכת קוד מקור | עריכה]

קטע אמצעים במשולש

יהי ABC משולש. קטע המחבר נקודות על הצלעות AB ו-AC הוא קטע אמצעים אם הוא מקיים שתיים מבין שלוש התכונות הבאות, הגוררות יחד את השלישית:

  • הקטע עובר באמצע הצלע AB,
  • הקטע עובר באמצע הצלע AC,
  • הקטע מקביל לצלע השלישית BC.

העובדה שקטע המחבר את אמצעי שתי צלעות הוא מקביל לצלע השלישית נובעת מדמיון משולשים (בשרטוט משמאל, המשולשים ABC ו-ADE דומים משום שהזווית A משותפת, והיחסים AD:AB ו-AE:AC שווים ל-2 לפי ההנחה ולכן זה לזה; מכאן שהזוויות B ו-D שוות, ולכן הישרים BC ו-DE מקבילים). גם להיפך, קטע העובר באמצעה של הצלע AB ומקביל ל-BC מוכרח לפגוש את AC באמצעה, משום שהקטע המחבר את אמצעה של AB לאמצעה של AC מקביל ל-BC, ואם כך מתלכד עם הקטע הנתון.

קטע האמצעים בטרפז[עריכת קוד מקור | עריכה]

קטע אמצעים בטרפז

קטע האמצעים בטרפז ABCD, שבסיסיו AB ו-CD, מוגדר באותו אופן. הוא מקיים שתיים מהתכונות הבאות, הגוררות יחד את השלישית:

  • הקטע עובר באמצע השוק BC,
  • הקטע עובר באמצע השוק DA,
  • הקטע מקביל לבסיסים AB ו-CD.

במקרה של הטרפז המנוון, שבו C=D, מתקבל קטע האמצעים במשולש. הוכחת התכונות של קטע האמצעים בטרפז דומה, ונעשית על-ידי השלמת הטרפז למשולש ABE, כאשר E הוא מפגש השוקיים BC ו-AD.