קרקטר האוריינטציות

בטופולוגיה וגאומטריה קרקטר האוריינטציות של יריעה $M$ הוא קרקטר כפלי של החבורה היסודית $\chi :\pi _{1}(M)\to \{1,-1\}$, המודד עד כמה $M$ "איננה אוריינטבילית". הקרקטר טריוויאלי אם ורק אם היריעה $M$ אוריינטבילית. הגדרת הקרקטר מבוססת על כיסוי האוריינטציות.

רקע

ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות

תהי $M$ יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה $x\in M$ של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק $T_{x}M$ (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה $x$ ב $\operatorname {orient} _{M}(x)$ (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי $\operatorname {orient} _{M}$. כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.

אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.

הגדרה

נקבע נקודה $x\in M$. אנו מקבלים פעולת מונודרומיה (Monodromy) של החבורה היסודית $\pi _{1}(M)$ על הסיב של $\operatorname {orient} _{M}$. פעולה זו מגדירה קרקטר כפלי,

$$\chi :\pi _{1}(M)\to \{1,-1\}.$$

קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. הקרקטר לוקח איבר של החבורה היסודית אל $1$ אם האיבר שומר על האוריינטציה, ואחרת אל $-1$.

אוריינטביליות

כעת נראה כיצד ניתן לקבוע בעזרת הקרקטר האם יריעה קשירה היא אוריינטבילית. ראשית, היריעה אוריינטבילית אם ורק אם כל מסילה בה שומרת על האוריינטציה. תנאי זה שקול להיותה של כל מסילה סגורה שומרת אוריינטציה, ואפילו שקול לכך שכל מסילה סגורה סביב נקודה אחת שומרת על האוריינטציה (ללכת ולחזור). כעת, שמירה על אוריינטציה אינווריאנטית להומוטופיה (זאת משום שניתן לכסות את המסילות על ידי סביבות שהומאומורפיות לכדור, שהוא אוריינטבילי), ולכן מספיק לבדוק זאת על איברי החבורה היסודית. ולכן, יריעה קשירה $M$ היא אוריינטבלית אם ורק אם קרקטר האוריינטציות שלה טריוויאלי. במקרה שיש ייצוג נוח של החבורה, מספיק לבדוק את הטענה על היוצרים, כלומר - יריעה היא אוריינטבילית אם ורק אם כל יוצר של החבורה היסודית שלה שומר את האוריינטציה. עבור יריעות רבות, החבורה מוצגת סופית, ועל כן יש לבצע את הבדיקה עבור מספר סופי של מסילות.

למעשה, ניתן לנסח טענה חזקה יותר, הקשורה לאבליניזציה של החבורה היסודית, השווה גם לחבורת ההומולוגיה הראשונה של המרחב. מפורשות, האיזומורפיזם $\operatorname {H} _{1}(X)\cong \operatorname {Ab} (\pi _{1}(X))$ הוא איזומורפיזם טבעי, ולכן מספיק (והכרחי) לבדוק האם ההעתקה המושרית $\operatorname {H} _{1}(M)\to \{-1,1\}$ היא טריוויאלית כדי לקבוע האם היריעה אוריינטבילית.

שימושים

בעזרת קרקטר האוריינטציות ניתן להוכיח את קריטריון האוריינטביליות הבא:

טענה: תהי $M$ יריעה טופולוגית. נניח שלחבורה היסודית שלה אין תת-חבורות מאינדקס 2. אז $M$ אוריינטבילית.

מסקנה: יריעה פשוטת קשר היא אוריינטבילית.

קישורים חיצוניים

• Orientation character, ב-Manifold Atlas (באנגלית)