קשר אפיני

בגאומטריה דיפרנציאלית, קשר אפיני הוא יוצר אינפיניטסימלי של הזזה מקבילה.

הזזה מקבילה, שדות מקבילים, וקשר אפיני

ביריעה דיפרנציאלית אין דרך קנונית לזהות מרחבים משיקים בנקודות שונות. כדי לזהות את המרחבים המשיקים בכל זאת משתמשים בהזזה מקבילה, שהיא העתקה שמתאימה לכל עקום $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ איזומורפיזם $P_{\gamma (0)\rightarrow \gamma (1)}$ בין המרחבים המשיקים $T_{\gamma (0)}M$ ו-$T_{\gamma (1)}M$. על יריעה מממד חיובי יש אינסוף העתקות מקבילות.

בהינתן הזזה מקבילה $P$, עקום $\gamma$, ושדה וקטורי $X$, אומרים ש-$X$ מקביל לאורך $\gamma$ אם $X_{\gamma (t)}$ הוא ההזזה המקבילה של $X_{\gamma (0)}$ לאורך $\gamma$. תנאי שקול הוא שהפונקציה $t\mapsto P_{\gamma (t)\rightarrow \gamma (0)}(X_{\gamma (t)})$ קבועה.

במקרה הכללי, הנגזרת של הפונקציה $t\mapsto P_{\gamma (t)\rightarrow \gamma (0)}(X_{\gamma (t)})$ ב-0 היא מדד לכמה השדה הווקטורי איננו מקביל. נגזרת זו תלויה רק ב-$X$ ובווקטור המשיק ${\dot {\gamma }}(0)$ וערכה מסומן ב-$\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}X$. ההעתקה $(v,X)\mapsto \nabla _{v}X$ היא הקשר האפיני שמתאים להזזה $P$. הקשר וההזזה המקבילה קובעים זה את זו.

הגדרה פורמלית

קשר אפיני הוא העתקה ביליניארית $(X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y$ שלוקחת שני שדות וקטורים ומחזירה שדה וקטורי כך שלכל פונקציה חלקה $f$ מתקיימות התכונות הבאות:

• $\nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y$.
• $\nabla _{X}(fY)=X(f)\cdot Y+f\nabla _{X}Y$.

סימני כריסטופל

מקומית, כאשר עובדים עם קואורדינטות מקומיות $x_{1},\ldots ,x_{n}$, השדות הווקטוריים $\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ מוגדרים, ולכל $i,j$ אפשר לכתוב

$\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k}\Gamma _{i,j}^{k}\partial _{k}$

כאשר $\Gamma _{i,j}^{k}$ הן פונקציות חלקות. הפונקציות $\Gamma _{i,j}^{k}$ נקראות סימני כריסטופל של הקשר.