רדיוס התכנסות

במתמטיקה, רדיוס ההתכנסות (באנגלית: Radius of convergence; בראשי תיבות: ROC) של טור חזקות הוא רדיוס הדיסק הגדול ביותר במרכז הסדרה בו היא מתכנסת. זה מספר ממשי (לא שלילי או $\infty$). כשהיא חיובית, סדרת החזקה מתכנסת באופן מוחלט ואחיד על קבוצה קומפקטית בתוך הדיסק הפתוחה ברדיוס השווה לרדיוס ההתכנסות, וזוהי סדרת טיילור של הפונקציה האנליטית שאליה היא מתכנסת. במקרה של ריבוי סינגולריות של פונקציה (סינגולריות הם ערכים של הארגומנט שעבורם הפונקציה לא מוגדרת), רדיוס ההתכנסות הוא המינימלי מכל המרחקים המתאימים (שכולם מספרים לא שליליים) המחושבים מתוך מרכז דיסק ההתכנסות לסינגולריות המתאימות של הפונקציה.

הגדרה

עבור סדרת חזקות $f$ המוגדרת כך:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$,

כאשר

• $a$ הוא קבוע מרוכב, מרכז דיסק ההתכנסות
• $c_{n}$ מקדם מרוכב באינדקס $n$
• $z$ הוא משתנה מרוכב

רדיוס ההתכנסות $r$ הוא מספר ממשי לא שלילי או $\infty$ כך שהסדרה מתכנסת אם:

$|z-a|<r$.

ומתבדרת אם:

$|z-a|>r$

אחרים עשויים להעדיף הגדרה חלופית, שכן הקיום ברור:

$r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}$

על הגבול, כלומר עבור $r=|z-a|$, ההתנהגות של סדרת החזקה עשויה להיות מסובכת, והסדרה עשויה להתכנס עבור כמה ערכים של $z$ ולהתבדר עבור אחרים. רדיוס ההתכנסות הוא אינסופי אם הסדרה מתכנסת עבור כל המספרים המרוכבים $z$.

מציאת רדיוס ההתכנסות

קיימים שני מקרים. המקרה הראשון הוא תאורטי: כאשר יודעים את כל המקדמים $c_{n}$, עבור הגבולות הידועים מוצאים את רדיוס ההתכנסות המדויק. המקרה השני הוא מעשי: כאשר בונים פתרון עבור סדרת חזקה של בעיה קשה, בדרך כלל נדע רק מספר סופי של מונחים בסדרת חזקה, בכל מקום מכמה איברים עד מאה איברים. במקרה השני הזה, אקסטרפולציה של גרף מעריכה את רדיוס ההתכנסות.

רדיוס תאורטי

ניתן למצוא את רדיוס ההתכנסות על ידי החלת מבחן השורש על תנאי הסדרה. מבחן השורש משתמש במספר:

$C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|z-a|$

כאשר $\limsup$ מציין את הגבול העליון. מבחן השורש קובע שהסדרה מתכנסת אם $C<1$ ומתבדר אם $C>1$. מכאן נובע שסדרת החזקה מתכנסת אם המרחק מ־$z$ למרכז $a$ קטן מ־$r$:

$r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}$

ומתבדר אם המרחק עולה על מספר זה; הצהרה זו היא משפט קושי-אדמר. $r=1/0$ מתפרש כרדיוס אינסופי, כלומר ש־$f$ היא פונקציה שלמה.

הגבול הכרוך במבחן היחס הוא בדרך כלל קל יותר לחישוב, וכאשר הגבול הזה קיים, זה מראה שרדיוס ההתכנסות הוא סופי.

$r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|$.

מבחן היחס אומר שהסדרה מתכנסת אם:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1$.

זה שווה ערך לכך:

$|z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|$.

הערכה מעשית של רדיוס במקרה של מקדמים ממשיים

עקומות של הפונקציה $f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}$.
הקו הירוק הרציף הוא אסימפטוטת הקו הישר בעקומת דומב-סייקס, עקומה b, שחותכת את הציר האנכי ב-$-2$ ובעלת שיפוע $+1$. לפיכך יש סינגולריות ב־$\varepsilon =-1/2$ ורדיוס ההתכנסות הוא $r=1/2$.

בדרך כלל, ביישומים מדעיים, רק מספר סופי של מקדמי $c_{n}$ ידועים. בדרך כלל, ככל ש-$n$ גדל, מקדמים אלה מתקרבים להתנהגות קבועה שנקבעת על ידי הסינגולריות הקרובה ביותר. במקרה זה פותחו שתי טכניקות עיקריות, המבוססות על העובדה שהמקדמים של טור טיילור הם בערך מעריכיים עם יחס $1/r$ כאשר $r$ הוא רדיוס ההתכנסות.

• המקרה הבסיסי הוא כאשר המקדמים בעלי סימן זהה או מתחלף. כפי שצוין קודם, במקרים רבים הגבול ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ קיים, ובמקרה זה הוא שווה ${\textstyle 1/r}$. אם $r$ שלילי, פירוש הדבר שהסינגולריות המגבילה את ההתכנסות נמצאת על הציר השלילי. כדי להעריך את הגבול הזה, נשרטט את $c_{n}/c_{n-1}$ כתלות ב-$1/n$, ונמשיך גרפית אל $1/n=0$ (כלומר אל $n=\infty$ ) באמצעות קירוב ליניארי. נקודת החיתוך עם $1/n=0$ נותנת קירוב עבור $1/r$. שיטה זו נקראת דומב-סייקס.
• במקרה המסובך יותר, כאשר לסימני המקדמים יש תבנית מורכבת, מרסר ורוברטס הציעו את ההליך הבא. נגדיר את הסדרהː $b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .$, נשרטט את כל $b_{n}$ הידועים (מספר סופי) ביחס ל-$1/n$, ונמשיך כמו קודם.

ראו גם

• מבחני התכנסות

לקריאה נוספת

• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8

קישורים חיצוניים

• רדיוס התכנסות, באתר MathWorld (באנגלית)
• What is the Radius of Convergence?