רדיקל של אידיאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידיאל $A$ בחוג $R$ הוא החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים המכילים את $A$. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל-$A$, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של $A$ בסימון ${\sqrt {A}}$. הרדיקל הוא אידיאל בעצמו, ותמיד $A\subseteq {\sqrt {A}}$.

הרדיקל של כל אידיאל הוא אידיאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההפך אינו נכון ($6\mathbb {Z}$ רדיקלי אבל אינו ראשוני).

ההתאמה בין אידיאלים רדיקליים של חוג הפולינומים $F[\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}]$ לבין יריעות אלגבריות, שהיא אנטי-איזומורפיזם של סריגים, היא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונות

(בחוג קומוטטיבי) אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם הוא רדיקלי ואי-פריק (כלומר אינו ניתן להצגה כחיתוך סופי), אם ורק אם הוא רדיקלי ופרימרי. כל אידיאל בעל רדיקל מקסימלי הוא פרימרי, וכל אידיאל פרימרי הוא בעל רדיקל ראשוני. בחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל אי-פריק הוא פרימרי.

אם $I,J$ אידיאלים בחוג $R$ ו-$I\subseteq J$, אז ${\sqrt {I}}\subseteq {\sqrt {J}}$. לכל שני אידיאלים $I,J$ מתקיים ${\sqrt {I+J}}={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}$.

דוגמאות

• בחוג השלמים, הרדיקל של האידיאל $n\mathbb {Z}$ נוצר על ידי הרדיקל של $n$: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את $n$. לדוגמה, ${\sqrt {180\mathbb {Z} }}=30\mathbb {Z}$. מושג הרדיקל של אידיאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.
• לכל חוג $R$, הרדיקל של $({x}^{2})$ בחוג הפולינומים $R[x]$ הוא $(x)$.

קישורים חיצוניים

• רדיקל של אידיאל, באתר MathWorld (באנגלית)