ריבוע קסם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ריבוע הקסם מתוך התחריט מלנכוליה של אלברכט דירר; בתחתית הריבוע שנת יצירתו - 1514, ומשני צידיה הספרות המייצגות את אותיות שמו של דירר.

במתמטיקה, ריבוע קסם הוא מטריצה ריבועית (מסדר \!\, n\times n), שמכילה מספרים טבעיים מ-1 ועד n² בסדר כלשהו, כך שסכום המספרים בכל שורה, בכל עמודה ובשני האלכסונים יהיה זהה. סכום זה מכונה "קבוע הקסם", וערכו

M_2(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}.


היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ריבועי קסם מעוררים עניין בבני אדם זמן רב. בימי קדם היו קשורים עם העל טבעי והעולם הקסום. הם נמצאו בממצאים ארכאולוגים של ערים אסיאתיות קדומות, ולמעשה, האזכור הקדום ביותר של ריבוע קסם הוא מסין, בערך מ-2800 לפני הספירה. הוא נקרא "lo-shu" והאגדות מספרות כי ריבוע הקסם הזה נראה לראשונה על ידי הקיסר "Yu" על גבו של צב שמימי על הגדה של הנהר הצהוב, lo.

בתחריט מלנכוליה שנעשה בשנת 1514 על ידי אלברכט דירר מופיע ריבוע קסם שכזה. דירר שיבץ את שנת היצירה בתחריט.

במאה התשיעית, ריבועי קסם חלחלו אל תוך עולם האסטרולוגיה, כאשר אסטרולוגים ערבים השתמשו בהם בחישובי הורוסקופים. עם העבודות של המתמטיקאי היווני Moschopoulos ב-1300 לספירה, ריבועי קסם ותכונותיהם התפשטו אל תוך העולם המערבי, בעיקר בתקופת הרנסאנס.

קבוע הקסם[עריכת קוד מקור | עריכה]

בריבוע הקסם משובצים המספרים \ 1,2, \dots,n^2, שסכומם הוא סכום סדרה חשבונית, \ \frac{n^2(n^2+1)}{2}. מכיוון שסכום המספרים בכל אחת מ- n השורות אמור להיות קבוע, הסכום בכל שורה שווה ל- \ \frac{n(n^2+1)}{2}; כך גם לעמודות.

דוגמאות לריבועי קסם[עריכת קוד מקור | עריכה]

ריבוע קסם מסדר 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

4 9 2
3 5 7
8 1 6

ריבוע קסם מסדר 4 - ריבוע הקסם של דירר[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה נוספת היא ריבוע הקסם מסדר 4 שיצר דירר בתחריטו מלנכוליה, המכיל תכונות מעניינות נוספות:

ריבוע הקסם שבתחריט, ו-52 התצורות המסתכמות ל-34

בניית ריבוע קסם מסדר אי־זוגי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימת דרך פשוטה לבניית ריבוע קסם מסדר \ n כאשר \ n הוא מספר טבעי אי-זוגי. יש לכתוב בריבוע את כל המספרים מ־\ 1 ועד \ n^2 לפי הסדר על־פי הכללים הבאים:

  1. כתבו את הספרה 1 במשבצת במרכז השורה העליונה.
  2. מעתה והלאה יש לנוע למשבצת הסמוכה באלכסון למעלה וימינה. חריגים:
    • אם מגיעים לקצה הריבוע - יש לחזור מצדו השני:
      • אם מגיעים לקצה העליון של הריבוע - חוזרים מהקצה התחתון.
      • אם מגיעים לקצה הימני של הריבוע - חוזרים מהקצה השמאלי.
    • אם המשבצת שאליה הגעתם לא ריקה, יש לנוע משבצת אחת למטה במקום באלכסון למעלה וימינה (הדבר מתרחש אם ורק אם המספר האחרון שהוצב הוא כפולה של \ n).
  3. כתבו את המספר הבא במשבצת שאליה הגעתם.
דוגמה לבניית ריבוע קסם מסדר 5 עם סכום 65
חצי הדרך
\ \downarrow 8 1
\ \nearrow 7 5
13 6 4
3 12 10
9 2 11
התוצאה הסופית
15 8 1 24 17
16 14 7 5 23
22 20 13 6 4
3 21 19 12 10
9 2 25 18 11

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]