רציפות במידה אחידה

באנליזה מתמטית, רציפות במידה אחידה (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של פונקציות רציפות במידה שווה בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם $\ y$ קרוב ל- $\ x$ אז $\ f(y)$ קרוב ל-$\ f(x)$ לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

הגדרה: משפחה $\mathcal{F} = \{f(x)\}$ של פונקציות רציפות ממרחב מטרי קומפקטי $X$ עם מטריקה $d$ למרחב מטרי $Y$ עם מטריקה $\rho$ נקראת רציפה במידה אחידה, אם לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ \delta > 0$ (התלוי ב-$\ \varepsilon$ בלבד), כך שלכל $\ f \in \mathcal{F}$ ולכל $\,x,y \in X$, אם $\!\, d(x,y) < \delta$ אז $\ \rho(f(x),f(y)) < \varepsilon$.

תוצאה יסודית באנליזה פונקציונלית הנוגעת לתכונה זו היא משפט ארזלה אסקולי, שקובע שלקבוצה חסומה של פונקציות ממשיות ורציפות על קטע קומפקטי יש תת-סדרה המתכנסת במידה-שווה אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה. מסקנה מידית היא שאם קבוצה זו אינה רק חסומה אלא גם סגורה, אז היא קומפקטית אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.