רשימה של פונקציות קדומות

במתמטיקה, ובפרט בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה קדומה של פונקציה כלשהי היא פונקציה שהנגזרת שלה היא פונקציה זו. על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, האינטגרל של פונקציה כלשהי הוא הפונקציה הקדומה שלה.

רשימה זו כוללת פונקציות קדומות של פונקציות שימושיות במתמטיקה. מאחר שכמות הפונקציות היא אינסופית, רשימה זו בהכרח לא תוכל להכיל את כל הפונקציות הקדומות באשר הן. אנו מזמינים משתמשים להוסיף פונקציות קדומות נוספות לרשימה זו על פי הצורך ועל פי שיקול דעת.

בכל הנוסחאות למטה $x$ ו-$t$ הם משתני האינטגרציה, $f$ ו-$g$ הן פונקציות ממשיות וכל שאר הפרמטרים הם מספרים ממשיים, אלא אם כן צוין אחרת.

נוסחאות אינטגרלים

• $\int {f'(x)dx}=f(x)+C$ (ראו המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)
• $\int {\alpha f'(x)dx}=\alpha f(x)+C$
• $\int {f'(\alpha x)dx}={\frac {f(\alpha x)}{\alpha }}+C\qquad {\text{if }}\alpha \neq 0$
• $\int {f'(x)g(x)dx}=f(x)g(x)-\int {f(x)g'(x)dx}+C$ (ראו אינטגרציה בחלקים)
• $\int {f'(x)g'(f(x))dx}=g(f(x))+C$ (ראו כלל השרשרת)

פונקציות רציונליות

(ראו פונקציה רציונלית)

• $\int {\alpha dx}=\alpha x+C$
• $\int {xdx}={\frac {x^{2}}{2}}+C$
• $\int {x^{n}dx}={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad ({\text{if }}n\neq -1)$
• $\int {(ax+b)^{n}dx}={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad ({\text{if }}n\neq -1{\text{ and }}a\neq 0)$
• $\int {{\frac {1}{x}}dx}=\ln x+C$ (ראו פונקציית הלוגריתם הטבעי)
• $\int {{\frac {1}{ax+b}}dx}={\frac {\ln(ax+b)}{a}}+C\qquad ({\text{if }}a\neq 0)$
• $\int {{\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}dx}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C\qquad ({\text{if }}a\neq 0)$

פונקציות מעריכיות

(ראו פונקציה מעריכית)

• $\int {\exp(x)dx}=\exp(x)+C$
• $\int {\exp(\alpha x)dx}={\frac {1}{\alpha }}\exp(\alpha x)+C\qquad ({\text{if }}\alpha \neq 0)$
• $\int {x\exp(x)dx}=(x-1)\exp(x)+C$
• $\int {a^{x}dx}={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C\qquad ({\text{if }}a>0{\text{ and }}a\neq 1)$

פונקציות לוגריתמיות

(ראו לוגריתם)

• $\int {\ln xdx}=x(\ln x-1)+C$
• $\int {x\ln xdx}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$
• $\int {x^{n}\ln xdx}={\frac {x^{n+1}\ln x}{n+1}}+{\frac {x^{n+1}}{(n+1)^{2}}}+C\qquad ({\text{if }}n\neq -1)$
• $\int {{\frac {\ln x}{x}}dx}={\frac {(\ln x)^{2}}{2}}+C$
• $\int {\log _{a}xdx}=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C\qquad ({\text{if }}a>0{\text{ and }}a\neq 1)$

פונקציות טריגונומטריות

(ראו פונקציות טריגונומטריות)

• $\int {\sin xdx}=-\cos x+C$
• $\int {\cos xdx}=\sin x+C$
• $\int {\tan xdx}=-\ln(\cos x)+C$
• $\int {\cot xdx}=\ln(\sin x)+C$
• $\int {\sec xdx}=\ln(\sec x+\tan x)+C$
• $\int {\csc xdx}=-\ln(\csc x+\cot x)+C$

פונקציות טריגונומטריות הפוכות

(ראו פונקציות טריגונומטריות הפוכות)

• $\int {\arcsin xdx}=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
• $\int {\arccos xdx}=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
• $\int {\arctan xdx}=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$
• $\int {\operatorname {arccot} xdx}=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$
• $\int {\operatorname {arcsec} xdx}=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C$
• $\int {\operatorname {arccsc} xdx}=x\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C$

פונקציות היפרבוליות

(ראו פונקציות היפרבוליות)

• $\int {\sinh xdx}=\cosh x+C$
• $\int {\cosh xdx}=\sinh x+C$
• $\int {\tanh xdx}=\ln(\cosh x)+C$
• $\int {\coth xdx}=\ln(\sinh x)+C$
• $\int {\operatorname {sech} xdx}=\arctan(\sinh x)+C$
• $\int {\operatorname {csch} xdx}=\ln(\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x)+C$

פונקציות היפרבוליות הפוכות

(ראו פונקציות היפרבוליות הפוכות)

• $\int {\operatorname {arcsinh} xdx}=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {1+x^{2}}}+C$
• $\int {\operatorname {arccosh} xdx}=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$
• $\int {\operatorname {arctanh} xdx}=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{2})+C$
• $\int {\operatorname {arccoth} xdx}=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-1)+C$
• $\int {\operatorname {arcsech} xdx}=x\operatorname {arcsech} x+\arcsin x+C$
• $\int {\operatorname {arccsch} xdx}=x\operatorname {arccsch} x+\operatorname {arcsinh} x+C$

פונקציות קדומות לא אלמנטריות

ישנן פונקציות אלמטריות שהפונקציה הקדומה שלהן איננה אלמנטרית. עבור פונקציות אלו, הפונקציה הקדומה מוגדרת באמצעות האינטגרל של הפונקציה האלמנטרית. הרשימה הבאה מכילה כמה פונקציות כאלו בעלות חשיבות רבה במתמטיקה:

• פונקציית השגיאה: $\operatorname {erf} (x):={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}$
• פונקציית האינטגרל הסינוסי (אנג): $\operatorname {Si} (x):=\int _{0}^{x}{{\frac {\sin t}{t}}dt}$
• פונקציית אינטגרל הקוסינוסי (אנג): $\operatorname {Ci} (x):=-\int _{x}^{\infty }{{\frac {\cos t}{t}}dt}$
• פונקציית האינטגרל המעריכי (אנג): $\operatorname {E_{i}} (x):=\int _{-\infty }^{x}{{\frac {e^{t}}{t}}dt}$
• פונקציית האינטגרל הלוגרתמי: $\operatorname {li} :=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\ln t}}dt}$

הפונקציות הקדומות של פונקציות אלו הן:

• $\int {\operatorname {erf} (x)}={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)+C$
• $\int {\operatorname {Si} (x)}=x\operatorname {Si} (x)+\cos x+C$
• $\int {\operatorname {Ci} (x)}=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x+C$
• $\int {\operatorname {Ei} (x)}=x\operatorname {Ei} (x)-\exp(x)+C$
• $\int {\operatorname {li} (x)}=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)+C$