שדה ההעתקה החשמלי

בפיזיקה בתחום של חשמל ומגנטיות, שדה ההעתקה החשמלי (מסומן ב-${\vec {D}}$), הנקרא גם צפיפות השטף החשמלי, הוא שדה וקטורי המופיע במשוואות מקסוול בחומר. הוא משלב את השדה הנובע מהקיטוב חשמלי של החומר והשדה החשמלי החיצוני לשדה יחיד. הוא ממלא תפקיד מרכזי בפיזיקה של תופעות כמו קיבול של חומר, תגובת חומרים דיאלקטריים לשדה חשמלי או יצירת מתחים חשמליים והעברת מטענים עקב מעוותים.

איור של קיטוב הנוצר בחומר מימין עקב השדה החשמלי הנוצר מהמטען השלילי משמאל

בחומר שלא נמצא תחת השפעת שדה חיצוני, המטען מתפלג בצורה כזו שבה מומנט הדיפול החשמלי מתאפס. כאשר מופעל שדה חשמלי חיצוני על מבודד, אז המטענים השליליים יכולים לנוע מעט לכיוון הצד החיובי של השדה, והמטענים החיוביים בכיוון השני. כתוצאה מכך, נוצר בחומר מומנט דיפול מושרה המתואר כקיטוב חשמלי. השדה החשמלי הכולל בתוך החומר, הוא שילוב של השדה החיצוני, והשדה שנוצר כתוצאה מהתפלגות המטען בתוך החומר. שדה ההעתקה החשמלי משלב את השפעותיהם של שני השדות האלה.

הגדרה ומאפיינים

הגדרה

שדה ההעתקה החשמלי $D$ מוגדר על ידי:

${\vec {D}}\equiv \varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$

כאשר $\varepsilon _{0}$ הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק, $E$ הוא השדה החשמלי, ו־$P$ היא הצפיפות (המקרוסקופית) של מומנטי הדיפול החשמליים הקבועים והמושרים בחומר, הנקראת צפיפות הקיטוב החשמלי.

חוק גאוס בתווך

שדה ההעתקה מקיים את חוק גאוס בחומר דיאלקטרי:

$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho -\rho _{\text{b}}=\rho _{\text{f}}$

במשוואה זו, $\rho _{\text{f}}$ הוא צפיפות המטענים החופשיים ליחידת נפח, ו-$\rho _{\text{b}}$ הוא צפיפות המטען הקשור - אלה הם מטענים שמהווים חלק מהדיפול הנוצר בחומר. משוואה זו אומרת, למעשה, שקווי השטף של $D$ חייבים להתחיל ולהסתיים במטענים חופשיים.

בצורה אינטגרלית, חוק גאוס בתווך מקבל את הצורה:

$\ ({\vec {D}}\cdot {\hat {n}})dS=\iiint \rho _{\text{f}}dV=Q_{f}$

הרוטור של שדה ההעתקה

באלקטרוסטטיקה, $D$ לא נקבע רק על ידי המטענים החופשיים. מכיוון שהרוטור של השדה החשמלי $E$ מתאפס במצבים אלקטרוסטטיים, מתקבל:

$\nabla \times {\vec {D}}=\nabla \times {\vec {P}}$

ניתן לראות את ההשפעה של משוואה זו במקרה של גוף עם קיטוב מובנה קבוע. בחומר כזה אין מטען חופשי, אבל הקיטוב המובנה מוליד שדה חשמלי, המוכיח שהשדה $D$ אינו נקבע לחלוטין על ידי המטען החופשי. לכן לדוגמה בסביבה של חומר שבו יש קיטוב חשמלי מובנה, שדה ההעתקה לא יתאפס גם אם אין מטענים חופשיים או שדה חיצוני. עם זאת, חומרים כאלה נדירים הרבה יותר מחומרים בהם יש קיטוב מגנטי מובנה.

חומרים דיאלקטריים

בחומרים דיאלקטריים שהם ליניאריים, הומוגניים, ואיזוטרופיים עם תגובה מיידית לשדה החשמלי צפיפות הדיפולים המושרים מקיימת:

${\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi {\vec {E}}$

כאשר קבוע הפרופורציה $\chi$ נקרא הסוספטיביליות החשמלית של החומר, ובחומרים אלה הוא קבוע סקלרי.

לפי הגדרת שדה ההעתקה, מתקיים:

${\vec {D}}=\varepsilon _{0}(1+\chi ){\vec {E}}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\vec {E}}=\varepsilon {\vec {E}}$ כאשר $\varepsilon _{r}=1+\chi$ הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי של החומר, ו-$\varepsilon$ הוא המקדם הדיאלקטרי (פרמטטיביות).

במדיה ליניארית, הומוגנית ואיזוטרופית $\varepsilon$ הוא קבוע. במדיה אנאיזוטרופית אך ליניארית המקדם הדיאלקטרי הוא טנזור, ובמדיה לא הומוגנית הוא פונקציה של המיקום בתוך המדיום. בחומרים לא ליניאריים, הוא תלוי בחוזק השדה החשמלי, דבר שניתן למדל באמצעות סדרים גבוהים יותר של הקירוב, ויש לו גם תגובה תלוית זמן.

תלות מפורשת בזמן יכולה להופיע כאשר החומרים נעים פיזית או משתנים בזמן (לדוגמה, החזרות מחומר נע יוצרות היסט דופלר). צורת תלות אחרת בזמן יכולה להתרחש גם בחומר שאינו משתנה בזמן, כאשר יש עיכוב בין הפעלת השדה החשמלי לבין הקיטוב הנוצר בחומר. במקרה כזה, הווקטור $P$ הוא קונבולוציה של התגובה להלם שהיא כאן הסוספטיבליות $\chi$, עם השדה החשמלי $E$. קונבולוציה זו מקבלת צורה פשוטה יותר במרחב התדר: על ידי ביצוע התמרת פורייה למשוואה ויישום משפט הקונבולוציה, מתקבלת המשוואה הבאה עבור מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן:

${\vec {D}}(\omega )=\varepsilon (\omega ){\vec {E}}(\omega )$

כאשר $\omega$ הוא תדר השדה המופעל. הדרישה לסיבתיות מובילה ליחסי קרמרס–קרוניג, אשר מציבים מגבלות על צורת התלות בתדר. התופעה של קבוע דיאלקטרי שתלוי בתדר היא דוגמה ליחס נפיצה של החומר. למעשה, לכל החומרים הפיזיקליים יש תגובה שתלויה בזמן מכיוון שהם אינם יכולים להגיב באופן מיידי לשדות שמופעלים עליהם, אך עבור בעיות רבות (כאשר מדובר על רוחב סרט צר מספיק), ניתן להזניח את התלות הזו.

תנאי שפה

ההטלה של הפרש שדות ההעתקה על הנורמל בממשק בין שני חומרים מקיימת: $({\vec {D_{1}}}-{\vec {D_{2}}})\cdot {\hat {n}}=D_{1,\perp }-D_{2,\perp }=\sigma _{\text{f}}$, כאשר $\sigma _{f}$ היא צפיפות המטען המשטחי החופשי על השפה, והווקטור ${\hat {n}}$ הוא וקטור יחידה בכיוון הנורמל. את התוצאה הזו ניתן לקבל מחוק גאוס בצורתו האינטגרלית.

היסטוריה

השימוש המוקדם ביותר הידוע במונח הוא משנת 1864, במאמרו של ג'יימס קלרק מקסוול A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. מקסוול הציג את המונח $D$, הקיבול הספציפי של השראה חשמלית, בצורה שונה מהסימונים המודרניים והמוכרים.

אוליבר הביסייד ניסח מחדש את משוואות מקסוול לצורה המודרנית, כשקיבץ אותם ב-1884, במקביל לוילארד גיבס והיינריך הרץ, את המשוואות לקבוצה נפרדת. קבוצה זו של ארבע משוואות נודעה כמשוואות הרץ-הביסייד ומשוואות מקסוול-הרץ, ולעיתים עדיין מתוארת כמשוואות מקסוול-הביסייד. נראה שהביסייד הוא שהעניק לשדה ההעתקה החשמלית את הצורה המוכרת לו כיום.

דוגמה – קבל לוחות עם חומר דיאלקטרי

קבל לוחות. כאשר מכניסים חומר דיאלקטרי ללב הקבל, הקיבול עולה, באופן שאפשר להסביר באמצעות שדה ההעתקה החשמלי.

קבל לוחות אידיאלי מורכב משני לוחות מתכתיים מקבילים גדולים מספיק כך שאפשר להניח שהשדה בין הלוחות הוא אחיד וכיוונו הוא הווקטור בין שני הלוחות. על אחד הלוחות יש מטען חיובי $+Q$, ועל הלוח השני מטען שלילי $-Q$. השטח של כל אחד מהלוחות הוא $A$ והמרחק ביניהם הוא $d$.

כדי לחשב את שדה ההעתקה החשמלי בין הלוחות, ניתן להשתמש בחוק גאוס:

$\ {\vec {D}}\cdot d{\vec {A}}=Q_{f}$

מחוץ ללוחות השדה מתאפס. אם משתמשים בקופסה המלבנית המופיעה בציור מתקבל כי $D=\sigma _{free}=Q/A$. כלומר שדה ההעתקה שווה לצפיפות המשטחית של המטען. אם התווך מלא בחומר בעל מקדם דיאלקטרי $\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$, אז השדה החשמלי בין הלוחות מקיים $|E|=Q/A\varepsilon$ והפוטנציאל בין הלוחות הוא $V=|E|d={\frac {Qd}{A\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$. הקיבול של הקבל הוא:

$C={\frac {Q}{V}}={\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}A}{d}}$

הוספת החומר הדיאלקטרי בין הלוחות מגדילה את $\varepsilon$ פי $\varepsilon _{r}$, כך שכדי להגיע לטעינה של מטען דומה, יש צורך בהפרש מתחים קטן יותר בפקטור הזה. כלומר הביטול החלקי של השדות בתוך החומר הדיאלקטרי מאפשר לכמות גדולה יותר של מטען חופשי לשכון על שני הלוחות של הקבל באותו הפרש מתחים. שדה ההעתקה החשמלי וחוק גאוס עבורו מאפשר לחשב את התכונה הזו של קבלים, תכונה שנעשה בה שימוש רב בקבלים במציאות.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• קיטוב חשמלי
• סוספטיביליות חשמלית
• שדה חשמלי
• שדה מגנטי
• מומנט דיפול