שדה המספרים הניתנים לבנייה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.

אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.

לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך 0 ו- 1, ואת שני המעגלים שרדיוסם 1, ומרכזיהם 0 ו- 1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות . כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.

לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף S של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב- S סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך . מזה נובע ש-S (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על-פי נוסחאות דה-מואבר) מוכח ש-S סגור גם לכפל וחילוק.

תכונה חשובה של השדה S היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-S שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, S הוא תת-השדה הקטן ביותר של הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת-2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת-שדה מממד סופי של S הוא חזקת-2. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת 2 (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל-S, ולכן אינו ניתן לבנייה.

הבעיות של ימי קדם[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת, , יוצרת שדה מממד 3. אי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות, משום ש- הוא שורש של הפולינום האי-פריק (את הזווית של 60 מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש- מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי , ו- 6 אינו חזקה של 2.