שדה ציקלוטומי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה , כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר . בפרט, ממד ההרחבה הוא , כאשר היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של הוא הפולינום הציקלוטומי .

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם ; (משום ש-); ; ; ו- . מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז . למשל, .

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במלים אחרות, השדה הציקלוטומי מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, .

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי . הדיסקרימיננטה של ההרחבה היא , ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- , ובדומה לזה ). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי . הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]