שדה ציקלוטומי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה \ \mathbb{Q}[\zeta_n], כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר \ U_n. בפרט, ממד ההרחבה הוא \ \phi(n), כאשר \ \phi היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של \ \zeta_n הוא הפולינום הציקלוטומי \ \Phi_n.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם \ \mathbb{Q}[\zeta_1] = \mathbb{Q}[\zeta_2] = \mathbb{Q}; \ \mathbb{Q}[\zeta_3] = \mathbb{Q}[\zeta_6] = \mathbb{Q}[\sqrt{-3}] (משום ש-\ \zeta_3 = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}); \ \mathbb{Q}[\zeta_4] = \mathbb{Q}[\sqrt{-1}]; \ \mathbb{Q}[\zeta_5] = \mathbb{Q}[\sqrt{\frac{-(5+\sqrt{5})}{2}}]; ו- \ \mathbb{Q}[\zeta_8] = \mathbb{Q}[\sqrt{-1},\sqrt{2}]. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז \ \mathbb{Q}[\zeta_{nm}] = \mathbb{Q}[\zeta_n,\zeta_m]. למשל, \ \mathbb{Q}[\zeta_{24}] = \mathbb{Q}[\zeta_3,\zeta_{8}] = \mathbb{Q}[\sqrt{-1},\sqrt{2},\sqrt{3}].

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במלים אחרות, השדה הציקלוטומי \ \mathbb{Q}[\zeta_n] מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם \ \phi(n) הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, \ \cos(\frac{2\pi}{17}) =  \frac{\frac{\sqrt{17}-1}{2}+\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}} + \sqrt{(3+\sqrt{17})(\sqrt{17}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}})} }{8}.

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי \ \mathbb{Z}[\zeta_p]. הדיסקרימיננטה של ההרחבה \ \mathbb{Q}[\zeta_p]/\mathbb{Q} היא \ (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של \ p^* = (-1)^{(p-1)/2}p (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- \ \sqrt{5} \in \mathbb{Q}[\zeta_5], ובדומה לזה \ \sqrt{-7} \in \mathbb{Q}[\zeta_7]). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי \ \mathbb{Q}[\zeta_m]. הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה \ \mathbb{Q}[\zeta_p]/\mathbb{Q} הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: \ \langle p \rangle = \langle 1 - \zeta_p \rangle^{p-1}.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]