משוואת המחלקות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף שוויון המחלקות)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

כאשר הוא המרכז של G, הוא המְרַכֵּז של (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-.

הוא האינדקס של ב- והוא שווה ל-.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

שני איברים נקראים איברים צמודים אם קיים כך ש-. צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל- כ-.

המרכז של מוגדר (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר מוגדר (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g).[1] למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש- היא תת-חבורה של .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי חבורה סופית ויהי . נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש- ו- שונים אם ורק אם ו- שייכים לקוסטים שמאליים שונים של . לכן מתקיים:

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

כש- עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי . לכל ולכל מתקיים ולכן (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

מסקנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי חבורה מסדר . אם אבלית אינו טריוויאלי. נניח ש- אינה אבלית. יהי , לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים . בהכרח , אחרת בסתירה לכך ש-. לכן: . לפי משוואת המחלקות:

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p. הוא מספר חיובי (כי ) שמתחלק ב-p ולכן . ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ המרכז של איבר יחיד שווה לנורמליזטור שלו. אולם כאשר מרחיבים את הגדרת המרכז לקבוצה מקבלים אובייקט שונה מהנורמליזטור של קבוצה.