שונות משותפת עצמית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, בהינתן תהליך סטוכסטי, שונות משותפת עצמית (באנגלית: Autocovariance) היא פונקציה שנותנת את השונות המשותפת של התהליך עם עצמו בשתי נקודות זמן. שונות משותפת עצמית קשורה קשר הדוק למתאם העצמי של התהליך המדובר.

שונות משותפת עצמית של תהליכים סטוכסטיים

הגדרה

אם לתהליך הסטוכסטי $\left\{X_{t}\right\}$ קיימת פונקציית תוחלת $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$ (כאשר $\operatorname {E}$ הוא הסימון הרגיל עבור אופרטור התוחלת), אז השונות המשותפת העצמית ניתנת על ידי:

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}$

כאשר $t_{1}$ ו־$t_{2}$ הן שתי נקודות זמן. לעיתים שונות משותפת עצמית מסומנת ב־$C_{XX}(t_{1},t_{2})$.

הגדרה עבור תהליך סטציונרי במובן הרחב

אִם $\left\{X_{t}\right\}$ הוא תהליך סטציונרי במובן הרחב (WSS), אז מתקיים:

$\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu$ עבור כל $t_{1},t_{2}$ כלשהם.

וכן:

$\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty$ עבור כל $t$ כלשהו.

וכן:

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau )$

כאשר $\tau =t_{2}-t_{1}$ הוא זמן ההשהיה, או משך הזמן שבו הוסט האות.

פונקציית השונות המשותפת העצמית של תהליך WSS ניתנת אפוא על ידי:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t-\tau }-\mu )]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}$

נִרמול

בכמה תחומים (למשל בסטטיסטיקה ובניתוח סדרות עיתיות) מקובל לנרמל את פונקציית השונות המשותפת העצמית כדי לקבל מקדם מתאם פירסון תלוי בזמן. עם זאת בתחומים אחרים (בהנדסה למשל) הנרמול מושמט לעיתים קרובות, והמונחים "שונות משותפת עצמית" ו"מתאם עצמי" משמשים לסירוגין.

מתאם עצמי מנורמל של תהליך סטוכסטי מוגדר כך:

$\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}$.

אם הפונקציה $\rho _{XX}$ מוגדרת היטב, הערך שלה חייב להיות בטווח $[-1,1]$, כאשר 1 מציין מתאם מושלם ו-1 מציין אנטי-מתאם מושלם.

עבור תהליך WSS, ההגדרה היא:

$\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}$.

כאשר:

$\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}$.

תכונות

סימטריה

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$

ובהתאמה עבור תהליך WSS:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}$

סינון ליניארי

השונות המשותפת העצמית של תהליך מסונן ליניארי $\left\{Y_{t}\right\}$

$Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}$

היא:

$K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l)$

ראו גם

• תהליך אוטו־רגרסיבי
• מתאם
• שונות משותפת צולבת (Cross-covariance)
• מתאם צולב (Cross-correlation)
• שיערוך שונות משותפת לרעש (כדוגמה ליישום)

לקריאה נוספת

• Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (Fifth ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Lecture notes on autocovariance from WHOI