שורש של מספר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
סימון מתמטי לשורש

במתמטיקה, השורש הn-י של a הוא מספר ממשי או מרוכב, שכאשר מכפילים אותו n פעמים בעצמו, מקבלים את a. את השורש מסמנים \sqrt[n]{a}. הפעולה החישובית של מציאת שורש של מספר נקראת הוצאת שורש.

שורש ריבועי של מספר ממשי a כלשהו הוא מספר, אשר כשמכפילים אותו בעצמו, מקבלים את a. הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת הוצאת שורש ריבועי.

התוצאה של הוצאת שורש ריבועי ממספר חיובי היא שני שורשים ממשיים: למשל, למספר 9 יש את השורשים 3 ומינוס 3, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 9. על כן, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר הכוונה היא בדרך כלל לשורש החיובי שלו. השורש הריבועי מסומן כך: \sqrt{a}.

למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה אי-שלילית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעיה זו: במספרים המרוכבים יש שורש לכל מספר (ממשי או מרוכב).

שורש מעוקב של a הוא מספר שכאשר מכפילים אותו 3 פעמים בעצמו, מקבלים את a.

חזקות רציונליות מוגדרות באמצעות פעולת השורש, על פי הכלל: \sqrt[n] {a} = a^{\frac{1}{n}}, כאשר n מספר חיובי שלם. לפיכך, חזקה רציונלית כללית מוגדרת כך: a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n] {a})^m. אפשר להוכיח, שפעולה זאת קיימת ומוגדרת היטב (במספרים הממשיים) עבור כל מספר ממשי אי-שלילי a.

שורש של מספר מרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעל שדה המספרים המרוכבים לכל מספר מרוכב יש n שורשים מסדר n. את השורש נוח לחשב בהצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים: \ z = r( \cos\theta  + i \sin\theta) = r e^{i\theta} במקרה זה, השורש מסדר n נתון על ידי

\ z^{1/n} = r^{1/n} e^{i ( \frac{\theta}{n} + \frac{2 \pi k}{n})}

כאשר k=0,1,...,n-1.

לדוגמה: \sqrt{-1}=(-1)^{1/2}=(e^{i\pi})^{1/2} = e^{i ( \pi /2 + \pi k)} = i e^{i \pi k} כאשר k=0,1 ו-\ e^{i \pi/2}=i. עבור k=0 מקבלים \ e^{i \pi \cdot 0} = 1 ואילו עבור k=1 מקבלים \ e^{i \pi } = -1 ובסך הכל \sqrt{-1}=(-1)^{1/2}=(e^{i\pi})^{1/2} = e^{i ( \pi /2 + \pi k)} = \pm i

בהצגה הקרטזית, השורש השני של מספר מרוכב \ a+bi (\ a,b\in \mathbb{R}) נתון על ידי הנוסחה \ \sqrt{a+bi} = \pm (\frac{b}{2t}+ti), כאשר \ t = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}.

עוד דוגמה: שורש שלישי של 1:

z_1 = 1 , \quad z_2 = e^{i \frac{2 \pi}{3}} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} , \quad z_3 = e^{i \frac{4 \pi}{3}} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]