שחלוף (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i,j) שלה נמצא האיבר ה-(j,i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף AT של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא מטריצה מסדר . המטריצה המשוחלפת שלה, (מקובלים גם הסימונים ) היא מטריצה מסדר שמוגדרת כך: , עבור כל .

דוגמאות:

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

  • .
  • .

מן התכונות האלה נובע גם שאם הפיכה אז גם הפיכה ו-.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של שווה לזה של , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה ריבועית נקראת סימטרית אם , כלומר שווה למטריצה המשוחלפת שלה. נקראת אנטי-סימטרית אם .

אם היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים , אז נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית היא אורתוגונלית אם ורק אם , כאשר היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה מסומן וכאמור מוגדר לפי . אם מקיימת , היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה לינארית

אם ו- הם מרחבים וקטוריים מעל שדה ו- היא העתקה לינארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה בין המרחבים הדואליים של ו- המוגדרת באופן הבא:

לכל ולכל .

זוהי העתקה לינארית ודרגתה שווה לדרגת . הפונקציונל מכונה לעתים המשיכה לאחור של במקביל ל-.

אם ו- הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, הוא בסיס סדור ל- עם בסיס דואלי , הוא בסיס סדור ל- עם בסיס דואלי ו- היא המטריצה המייצגת של ביחס לבסיסים , אז המטריצה המייצגת של ביחס לבסיסים היא בדיוק .