שיחה:אי-שוויון ברנולי

שתי שאלות

1. "בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה $\ (1+{\frac {1}{n}})^{n}$ עולה בזמן שהסדרה $\ (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $\ e=2.718...$, כגבולן המשותף."

   האם בדרך דומה אני יכול להראות שהסדרה $\ 2-{\frac {1}{n}}$ עולה בזמן שהסדרה $\ 1+{\frac {1}{n}}$ יורדת ולהגדיר את $\ f=1.5$ כגבולן המשותף? כלומר, חסר לי משהו בשורה הזו.

2. אתמול התחשק לי להוכיח ש-$\ e^{x}>x^{2}$ עבור ערכים גדולים של $\ x$. לא ממש הצלחתי. האם זה אי השוויון שבו אני צריך להשתמש, ואיך? גדי אלכסנדרוביץ' 05:39, 23 מרץ 2006 (UTC)

זה כשל לוגי (מהסוג שאפשר למצוא בכל טיעון שאינו בנוי מן המסד לטפחות, כלומר בכל טיעון). מה שחסר שם הוא שהיחס בין שתי הסדרות שלי ($\ 1+1/n$) שואף לאחת (ולכן, לאחר שמוכיחים שהן מתכנסות, יש להן אותו גבול).

לדעתי לא יזיק להוסיף את רבע השורה הזו לערך. גדי אלכסנדרוביץ' 07:03, 23 מרץ 2006 (UTC)

הדרך הקלה להוכיח את אי-השוויון היא להשתמש בכלל לופיטל כדי להבחין שהיחס שואף לאפס. אבל באותה קלות אפשר לגזור את ההפרש ולהראות שהוא עולה (מנקודה מסויימת). עוזי ו. 06:46, 23 מרץ 2006 (UTC)

העניין הוא שרציתי להוכיח את אי השוויון הזה כדי להימנע משימוש בכלל לופיטל או בגזירה באופן כללי... משום מה הייתי בטוח שזה נובע מאינפי אלמנטרי (כן, אני יודע שגזירה היא אינפי אלמנטרי). גדי אלכסנדרוביץ' 07:03, 23 מרץ 2006 (UTC)

מה דעתך על זה: $\ e>(1+1/2)^{2}$, ולכן $\ e^{x}>(1+1/2)^{2x}>1+{\frac {2x}{2}}+{\frac {2x(2x-1)}{4}}>x^{2}$ לפי הבינום של ניוטון. עוזי ו. 02:29, 26 מרץ 2006 (UTC)

נראה תקין, תודה. גדי אלכסנדרוביץ' 06:36, 26 מרץ 2006 (UTC)

הוכחה בלי אינדוקציה

ע"י פתיחת הבינום - קיימת?

כאן נמצאת הוכחה כזו. אגב, על-שם איזה מן הברנולים קרוי אי השוויון? אבינעם 13:10, 3 בנובמבר 2006 (IST)

אגב

שימו לב שאי השוויון מתקיים גם עבור x>=-2. זה משום מה לא מופיע בשום מקום אבל זה די קל להוכיח, מכיוון שבין -1 ל -2 הפונקציה קצת משתגעת, אבל אי השוויון עדיין תקף. (שיר פלד)

"המחשה גרפית"

מן הראוי לכתוב מה באמת רואים שם (מהן הפונקציות המצויירות), ולא להסתפק בכותרת. עוזי ו. - שיחה 20:56, 9 ביוני 2008 (IDT)

תמונה

דרוש תיאור יותר טוב להמחשה הגרפית מצד שמאל למעלה הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
79.176.218.248 12:28, 22 בספטמבר 2011 (IDT)

בעיית ניסוח

בהגדרה בפתיחה n הוא שלם אי שלילי ואילו בהוכחה האינדוקטיבית בודקים את הטענה עבור n=1. אפשר לשנות את הבדיקה ל0?

משוב מ-14 במאי 2016

איך אומרים את זה באנגלית?  הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
32.209.181.146 17:48, 14 במאי 2016 (IDT)

מאחר ואין מונח ייחודי בשפה אחרת, המונח לא מצוין בגוף הערך, אך תוכל לראות את הערך המקביל באמצעות לחיצה על השפה המתאימה תחת "דף זה בשפות אחרות" בצד ימין של הערך (לא דף השיחה). ‏Hummingbird‏ ° יש לך הודעה ° כולי אוזן 17:52, 14 במאי 2016 (IDT)