שיחה:אלגברה (מבנה אלגברי)

עוזי, ברכותי על התרגום המוצלח מעברית מדוברת לסינית. ובלי ציניות, אני יודע שהערך שכתבת יותר נכון, ומכיל יותר מידע מהערך שהיה כתוב קודם, אבל, נראה לי שהוא הרבה פחות קריא. אין הסבר או הפניה למה זה מודול נאמן (או מה זה מודול בכלל), מה הוא חוג קומטטיבי, מהיא פעולת כפל תואמת ועוד (זה רק מהמשפט הראשון). מה אומר המשפט "האפשרות לחקור את המבנה של החוג תוך שמחזיקים את חוג הבסיס C קבוע"? מה זה בכלל מבנה אלגברי החשוב ביותר? חשוב יותר מחבורות? חשוב יותר משדות? חשוב למי? מי שידע את כל מה שכתבת לפני קריאת הערך שכתבת, ידע גם אחריו, מי שלא ידע, יתקשה מאד בקריאה שלו (אני, למשל, חשבתי שאני יודע, עכשיו אני מבין שאני לא יודע, וקריאת הערך שכתבת לא קידמה במאום את הידע שלי). יש סיכוי שתשכתב אותו בצורה שתדמה יותר לערך שאני כתבתי (ולערך שכתוב באנגלית, או למה שכתוב ברוב המקורות), ככה שיהיה ברור גם לאנשים פשוטים, ולא רק למתמטיקאים? לדעתי, הערך כמו שהיה כתוב קודם היה קריא גם לתלמידי תיכון, למה שלא נוסיף את המידע שהוספת לערך ההוא? יפתח 08:14, 28 אפר' 2005 (UTC)

האם אנחנו כותבים אנציקלופדיה לתלמידי תיכון? הכלל המנחה הוא שכל ערך צריך להיות קריא לכל בן תרבות (דווקא כתבתי ערך עמוס בהפניות בדוקות, וכששמרתי אותו האתר קרס), אבל לא פחות חשוב שהערך יחדש משהו; אי אפשר להסתפק בהגדרות הבסיסיות בכל מושג מתמטי (אפילו בתור מילון זה משעמם). זה דיון שצריך מן הסתם להערך במקום אחר, ובכל זאת נח לי לקבור אותו כאן: בתחומים אחרים (כימיה, זואולוגיה), הערכים מנסים להקיף את הנושא מכמה זוויות. במתמטיקה יש לי תחושה שכל מושג מתואר באופן שהוא מופיע בשעור הראשון של הקורס המתאים (עם הגדרות ברחל בתך הקטנה, אבל בלי שום תאור של ההקשר הכללי). למה שהערך על תורת החבורות לא יסקור גם את משפטי סילו, למשל? עוזי ו. 12:21, 28 אפר' 2005 (UTC)

1. אני חושב שאנחנו כותבים ערכים שגם תלמידי תיכון (או פיזיקאים, או כימאים, או מהנדסים, או, חו"ח, סתם בני אדם מההישוב) יוכלו לקרוא.
2. אני חושב שלא הבנת את ההערה שלי, אני לא מעוניין בצימצום החומר, אלא רק בהסברים יותר פשוטים במקום בו אפשר (ולדעתי, זה אחד המקומות בהם אפשר לעשות כך, תסתכל על הגרסא האחרונה שלי). חשוב מאד שהערך יחדש משהו, ודווקא בגלל זה הוא צריך להיות קריא למי שהוא יכול לחדש לו. אתה ודאי כבר יודע מה זה אלגברה, בגלל זה הערך לא יחדש לך מצד אחד, ויהיה קריא בעיניך. אבל בעיני מישהו שיש משהו בנושא שאפשר לחדש לו (אני למשל) הערך כמו שכתבת אותו לא קריא (גם עכשיו).

שיפצתי פה ושם. אשמח אם תוכל לפרט בעניין אי-הקריאות. עוזי ו. 13:12, 29 אפר' 2005 (UTC)

1. אגב, הערה טכנית, הנוסחאות בצורה $[A,B]$ הן לא כל כך קריאות בכל המחשבים, ולהבדיל, $\ [A,B]$ נראה טוב תמיד.
2. גם אני חושב שהנושא צריך להקיף את הנושא מכל הזויות, כשאני כותב ערכים מקוצרים, כמו זה שעשיתי כאן, זה בגלל שמבחינתי זו כל מה שצריך על מנת לכתוב את הערך שהוא המעניין מבחינתי. בגלל זה במקומות כאלה אני משאיר את הקצרמר. אני כותב עכשיו (טוב, מנסה לכתוב) ערך על המספרים האוקניונים, ובשביל שהערך יובן, הייתי צריך לכתוב את הערך הזה.
3. אם אתה כבר מוסיף דברים לתורת החבורות, נראה לי שאין שם מילה על תורת ההצגות.
4. גם לי חסרים הקשרים כללים. הערתי פעם למישהו שהרבה ערכים כאן נראים כמו סיכומי שיעור, אני מצטער שערכים שלי נראים ככה. יפתח 12:47, 28 אפר' 2005 (UTC)

אתם כמובן צודקים. האם באמת הערך כתוב רע עד כדי כך, או שמתוך להט לכתוב ולתרגם הכותב שכח להגדיר מהי אלגברה? בעקרון, אלגברה היא מבנה בין שתי פעולות הנקראות כפל וחיבור (לא בהכרח הכפל והחיבור של המספרים!) שמקיימות מספר תכונות. דאגתי להוסיף הסבר זה למאמר. MathKnight 14:05, 29 אפר' 2005 (UTC)

העף מבט בגרסאות הקודמות, בעיקר ב[1]. יפתח 18:25, 30 אפר' 2005 (UTC)

מה לא ברור לי מקריאת הערך הנוכחי

1. למה אתה מגדיר את האלגברה בתור מרחב וקטורי ולא בתור מודול?

אני לא. אלגברה היא מודול מעל חוג בסיס, שבנוסף מוגדרת בה פעולת כפל, כפי שכתבתי. עוזי ו. 22:35, 30 אפר' 2005 (UTC)

1. מה המשמעות של C מוכל במרכז של A?

מה המשמעות של "משמעות"? A הוא חוג? יש לו מרכז? המרכז הוא קבוצה? C הוא חוג? לכן הוא קבוצה? וקבוצה אחת יכולה להיות מוכלת בקבוצה אחרת? מה לא ברור.

1. מה זה חוג בסיס קבוע?

כמו שאפשר ללמוד "מרחבים וקטוריים מעל R", אפשר ללמוד "אלגברות מעל $\ Z[x]$". אותו חוג בסיס כל הזמן.

1. מה זה בדיוק $\ C[S]$? איפה זה מוסבר?

כתוב: "(זוהי תת-האלגברה הקטנה ביותר של A המכילה את S)".

1. המשפט "נניח ש- A נפרשת כמודול על-ידי אברים " מחייב, לדעתי, הסבר איך מודול נפרש על ידי איברים (זה לא מודול חופשי? בכל מקרה, נזכרתי שצריך להוסיף את ההגדרה שלו להגדרה של המודול).

הנושא הזה באמת שייך למודולים ולא לאלגברות.

1. גם חוג הפולינומים מחייב איזשהו קישור.
2. למה ירד החלק על הגדרת הקומוטטור והאנטי קומוטטור?

אין מקומו כאן. העברתי חלקים לאלגברה לא אסוציאטיבית.

1. האם לא נכון שיש איזה תנאי התכנסות בקבועי המבנה?

לא. אם מדובר בקבוצה פורשת של האלגברה (כמודול), אז כל איבר הוא (לפי ההגדרה!) צירוף ליניארי סופי. אפשר לדבר על קבוצה פורשת במובן הטופולוגי, אבל זה מצריך טיפול מסודר בהתכנסות וכו'.

יפתח 18:42, 30 אפר' 2005 (UTC)

---

מה הורדתי בעריכה האחרונה, ולמה: "== הגדרה פורמלית == אלגברה A היא מרחב וקטורי מעל שדה F עם פעולה בינארית $\ \cdot :X\times X\to X$ הנקראת "מכפלה" (ואת תוצאתה רומים בקיצור $\ x\cdot y=xy$ ) שמקיימת את התכונות הבאות:

1. הפעולה היא ביליניארית, כלומר: $\forall x,y,z\in A\ :\ (x+y)z=xz+yz\ ,\ x(y+z)=xy+xz$.
2. הפעולה אסוציאטיבית ביחס לכפל בסקלר: $\forall \lambda \in F\ :\forall x,y\in A\ :\ (\lambda x)y=x(\lambda y)=\lambda (xy)$.

יש הדורשים מהמכפלה להיות גם אסוציאטיבית ביחס לעצמה ומכלילים זו כחלק מההגדרה של אלגברה. ראו דיון מפורט על כך בהמשך. "

1. אני לא מבין למה הקורא צריך "לראות במו עיניו" שפעולה בינרית היא פונקציה $\ \cdot :X\times X\to X$. זו העמסה של פרטים טריוויאליים ולא רלוונטיים (מי שעדיין לא הפנים מהי פעולת כפל צריך לקרוא את הערך חוג (אלגברה)). הביליניאריות של הפעולה נובעת מכך שמדובר במודול (או לכל הפחות מרחב וקטורי, אם מסתפקים בהגדרה מעל שדה). מי שאינו מבין עדיין מהו מרחב וקטורי, כדאי שיקרא את הערך המתאים ולא ינסה לבלוע בבת-אחת את ההגדרה של אלגברה; ומי שכבר יודע מהו מרחב וקטורי אינו צריך שיזכירו לו את התכונות הטריוויאליות ביותר של המכפלה הסקלרית. עוזי ו. 23:00, 30 אפר' 2005 (UTC)

למה לדעתך מי שכבר יודע מהו מרחב וקטורי אינו צריך שיזכירו לו את התכונות הטריוויאליות ביותר של המכפלה הסקלרית? אני חושב שאתה מבלבל בין "פרטים טריוויאליים ולא רלוונטיים" ובין "פרטים שהמחסור בהם יקשה מאוד על הקריאה למי שלא מכיר אלגברות כבר עכשיו". אתה ללא ספק מבין יותר ממני במתמטיקה, אבל ייתכן שאני מבין יותר בלא להבין מתמטיקה. להבין מה זה פעולת כפל ומה זה מרחב וקטורי אני כבר יודע, ועם זאת הערך הזה די לא נוח לקריאה עבורי. (אגב, לא כדאי לקשר למרכז, למקרה שלא כולם זוכרים בעל פה מהו?) גדי אלכסנדרוביץ' 04:19, 1 מאי 2005 (UTC)

אולי עדיף להציג קודם את ההגדרה המצמצמת, שלפיה אלגברה צריכה להיות מעל שדה. אני חושב שהיא נפוצה יותר. בעניין המרכז, השאלה היא איך קוראים את המשפט הראשון. אין ערך "מרכז" (ואולי לא צריך להיות); אבל תחת הערך חוג (מבנה אלגברי) יש סעיף שמגדיר מהו המרכז. אולי אפשר לצפות שהקורא הסביר שנתקל במושג לא מוכר יחפש בהפניות שנמצאות באותו משפט ונראות קשורות בעליל למושג שהוא לא מכיר. עוזי ו. 08:43, 1 מאי 2005 (UTC)

אין שום סיבה לא לסייע לקורא הסביר. אפשר להפוך את מרכז להפניה לערך שבו מדברים עליו, ככה: מרכז. זו הדרך הטובה ביותר להבטיח שהקורא הסביר ימצא את "מרכז" בהקשרו הנוכחי בלי לשבור את הראש. גדי אלכסנדרוביץ' 12:46, 1 מאי 2005 (UTC)

הוספתי את הגדרת המרכז לחוג היום כחלק מהמעבר שלי על הערך. יפתח 08:50, 1 מאי 2005 (UTC)

אה, סליחה, לא ראיתי שאת החלק על המרחב הוקטורי לא אתה כתבת. מהשאלה הראשונה אפשר להתעלם.

ובנוגע לנושא הכללי יותר, אדם יכול להגיע לאלגברה ממקומות שונים, ויכול להיות שהוא לא זוכר את ההגדרה המדוייקת של כל הנושאים האלה. לכן, אם לא מפרטים מהם, צריך לתת קישורים למקומות בהם זה כן מפורט. בנוסף, כדאי לתת הגדרה יותר אינטואיטיבית לפני ההגדרה הפורמלית, כזאת שתספק מנפנפי ידיים.

אני מקווה שהיום יהיה לי זמן לעבור על הערך, ולשנות אותו ככה שיראה יותר פשוט. אני מקווה שזה לא יראה כאקט התקפתי. יפתח 06:26, 1 מאי 2005 (UTC)

אני חושב שהגדרות אקסיומטיות קשה מאד לעכל; הן מתאימות לסטודנט שהמשימה הבאה שלו תהיה לבדוק האם דוגמאות מסויימות עונות על הדרישות או לא, אבל לא למי שקורא ערך אנציקלופדי ורוצה קודם כל לדעת במה מדובר. עוזי ו. 08:43, 1 מאי 2005 (UTC)

הדברים שעדיין לא מוסברים במאמר

1. מה הן האלגברות האסוציאטיביות ממימד n מעל שדה נתון? צריך להוסיף הסבר על מימד האלגברה.
2. מה זה הרחבה של שדות? צריך להוסיף הסבר (לאו דווקא כאן, אבל איפשהו).
3. במשפט נטר, יש AC וR, C הוא חוג, R היא אלגברה אפינית, מה זה R?
4. כשכותבים R/C מתכוונים לאלגברה מודולו חוג?

יפתח 10:31, 1 מאי 2005 (UTC)

אני חושב שתיקנתי את הפרטים האלו. עוזי ו. 13:57, 1 מאי 2005 (UTC)

אני חושב שאני מסכים. תודה. יפתח 06:32, 2 מאי 2005 (UTC)

הצעת ייעול

ראיתי שכבר העירו על זה והיה פה דיון, אבל לא ממש נראה שהייתה התקדמות בנושא. למרות שעברתי אלגברה 1מ בציון 90+ בטכניון היה לי קשה להבין מה הולך פה... הבנתי שהערך כבר עבר תרגום אחד. הייתי מציע להעביר אותו תרגום נוסף לשפה קצת מובנת יותר..., או לפחות להוסיף כמה שורות מבוא כדי שבכלל יהיה אפשר להבין במה מדובר למי שלא לומד בMIT. הייתי עושה את זה בעצמי אבל אין לי מספיק ידע בתחום מעבר לבסיסי שלומדים באלגברה לינארית ומופשטת. בהצלחה...

בשביל להבין מה זה אלגברה צריך להבין מה זה מודול. ניסית לקרוא קודם את הערך הזה? כדאי לזכור שאלגברה 1מ' לא מתעסק באלגברה מופשטת, אלא באלגברה לינארית, שבה לא פוגשים אלגבראות במהלך הלימודים הטכניוניים (גם אני, אחרי שלושה וחצי קורסים של אלגברה מופשטת, לא למדתי אף פעם בצורה פורמלית על אלגבראות). מה שכן כדאי להוסיף זו הקדמה שתסביר למה זה טוב, איך זה מהווה הכללה של מה שכבר יש, וכדומה (כמו שהייתי שמח בערך על מודולים שכבר בהתחלה יוסבר שבעזרת ההכללה שהמודולים מספקים אפשר להוכיח במכה אחת את משפט המיון של חבורות אבליות נוצרות סופית ואת הקיום והיחידות של צורת ז'ורדן, אבל בטח עוזי יגיד על זה שאלו שימושים מגובה הדשא). גדי אלכסנדרוביץ' 17:04, 27 פברואר 2006 (UTC)

אלגברה אפינית

בשביל שאלגברה תהיה אפינית לא צריך לדרוש גם שלא יהיו בה איברים נילפוטנטים? הרי אלגבראות אפיניות אמורות להתאים בדיוק ליריעות אפיניות. לירן (שיחה,תרומות) 16:19, 22 באפריל 2007 (IDT)

כל אלגברה נוצרת סופית היא אפינית. ההתאמה ליריעות מושגת כשמתבוננים בתחום שלמות אפיני (ליתר דיוק - כאשר 0 הוא הוא רדיקל). עוזי ו. 18:18, 22 באפריל 2007 (IDT)

קישור לדף המקביל באנגלית

הערך המצורף בשפה האנגלית הוא ערך על אלגברה אסוציאטיבית... יש ערך בשפה האנגלית עלאלגברה באופן כללי, ולדעתי מן הראוי לקשר דווקא אותו לערך... אם מישהו יודע לעשות זאת - אשמח אם יעשה (אני פשוט לא יודע איך).

אילן מינקין - שיחה 12:40, 20 ביולי 2021 (IDT)

הערך הזה עוסק באלגברות אסוציאטיביות. עוזי ו. - שיחה 13:02, 20 ביולי 2021 (IDT)