שיחה:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

גדי, תוכל לספק הסבר אינטואטיבי למה המשפט היסודי נכון ? שן שש זעם

איפה, כאן, או בערך עצמו? אני אוכל לנסות כאן בצורה לא רשמית, לא יודע אם אני מבין את זה מספיק טוב בשביל הערך עצמו. הרעיון הבסיסי הוא כזה - אם אתה מסתכל על הפונקציה הקדומה F בתור הפונקציה שאומרת מה הערך של האינטגרל המסויים של f בכל נקודה (כשהגבול התחתון הוא נקודה שרירותית, כלומר $\!\,F(x)=\int _{t}^{x}f$ ו-t שרירותי) ואתה בא לשאול את עצמך מה הנגזרת של F אתה מגלה שהשינוי בערך הפונקציה F, כשאתה לוקח אותו על שינוי קטן מאוד ב-x, הוא בדיוק הערך של f, כי f בעצם אומרת מה גודל הערך ש"מוסיפים" לסכום של האינטגרל כשמוסיפים לקטע שעליו לוקחים את האינטגרל את השינוי הקטן ב-x. כלומר, מהגדרת פונקציה באמצעות אינטגרל מסויים של פונקציה אחרת, אתה מגיע לכך שהפונקציה שהגדרת היא פונקציה קדומה של הפונקציה האחרת. כל זה - אינטואיטיבית בלבד, כמובן, יש לזה ניסוח הרבה יותר מדוייק, שאני לא ניסיתי עדיין לשחזר (אני חושב שאני יכול, אבל אם אני לא טועה גם צריך שם לגראנז' ועניינים, ואין לי ספר לידי כרגע). מרגע שהוכחת שעבור הפונקציה שהגדרתי למעלה, $\!\,F'(x)=f(x)$ המסקנה מיידית: הרי $\!\,\int _{a}^{b}f=\int _{a}^{t}f+\int _{t}^{b}f=-\int _{t}^{a}f+\int _{t}^{b}f=F(b)-F(a)$ - כאן אתה משתמש בזה שהוכחת קודם על אינטגרל מסויים את תכונת האדיטיביות (החיבוריות).

אני מקווה שאני לא מקשקש כאן שטויות... גדי אלכסנדרוביץ' 12:29, 29 ספט' 2004 (UTC)

הנה ניסיון הוכחה אינטואיטיבי:

נסמן $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ חלוקה של הקטע [A,B].

$F(B)-F(a)=\sum _{k=0}^{n}{F(x_{k})-F(x_{k-1})}$ , זהו טור טלסקופי.

נניח שההפרש בין כל שתי נקודות על החלוקה הוא dx , כלומר: $x_{k}-x_{k-1}=dx,$ , אזי נכפול את הסכום לעיל ב $1={\frac {dx}{dx}}$ ונקבל

$F(B)-F(a)=\sum _{k=0}^{n}{{\frac {F(x_{k})-F(x_{k-1})}{dx}}\ dx}$

ובגבול dx שואף לאפס (n שואף לאינסוף) נקבל את האינטגרל

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}{{\frac {dF}{dx}}\ dx}$

כמובן שזו לא הוכחה פורמלית וצריך לדאוג ש F גזירה וכל השטויות המעצבנות האלה. MathKnight 13:16, 5 נוב' 2004 (UTC)

ההוכחה

יובל, עליך להוסיף יותר "תיעוד" להוכחה מאשר תחשיב פורמלי גרידא. כלומר: עליך לרשום מה אתה מנסה להוכיח, למה טענות ביניים אכן נכונות (למשל: למה מותר להניח ש f חסומה? תשובה: כי זה תנאי לכך ש f אינטגרבילית רימן) והערות שיסבירו את החישוב. כמו כן, לדעתי יש להוכיח קודם את המשפט היסודי ורק אחר כך את נוסחת ניוטון-לייבניץ. MathKnight 19:22, 2 פבר' 2005 (UTC)

אכן, שכחתי להנחה שלי שf חסומה. איזה פרטים נוספים עליי לפרט?

למשפט היסודי אני לא חושב שאתפנה ביומיים הקרובים, אולי בסופ"ש... אני לא בטוח שהנוסחא צריכה להיות מוכחת לאחר המשפט היסודי, כיוון שהחלק השני שלו (שקובע שהאינטגרל הלא מסוים הוא קדומה של הפונקציה) מתבסס עליה, וכפי שנראה בהוכחה, אין הסתמכות של הנוסחא על המשפט. יובל מדר

הסתכל בהוכחה שהבאתי לכך ש F רציפה ותראה לאיזה תיעוד אני מתכוון. MathKnight 19:48, 2 פבר' 2005 (UTC)

אני מכיר את ההוכחה בדיוק בצורה ההפוכה- קודם מוכיחים את המשפט היסודי, ואז נובעת ממנו בצורה די טריוויאלית (פשוט מציבים) הנוסחה. ככלל, לדעתי הכיוון הזה עדיף על פני הוכחת המשפט באמצעות הנוסחה, אבל לכתוב עכשיו את ההוכחה שאני מכיר פירושו למחוק את מה שאתה עשית, וחבל. גדי אלכסנדרוביץ' 19:37, 2 פבר' 2005 (UTC)

ריבוי הוכחות

עושה רושם שכולנו נתקפנו בפרץ התלהבות, והוספנו יותר מדי הוכחות לערך - כרגע יש שתי הוכחות לגזירות הפונקציה הקדומה. אני מציע לתת ליובל (או לבורר מוסכם אחר שמבין במתמטיקה) להכריע איזו עדיפה. כמו כן נשאלת השאלה - מה עושים עכשיו? מאחר שכבר הוכחנו את גזירות הפונקציה הקדומה, המשפט היסודי הוא במרחק שתי שורות, והנוסחה היסודית - בלי ההוכחה של יובל - במרחק שלוש שורות, פחות או יותר. אני מציע ללכת על זה, אבל אני מעדיף שיובל יגיד את דעתו בעניין קודם. גדי אלכסנדרוביץ' 20:26, 2 פבר' 2005 (UTC)

אכן. זה דווקא די כיף להוכיח דברים. שתי ההוכחות טובות וגם מאוד דומות. אני מסכים שיובל ישמש כבורר בין שתי ההוכחות (בוא נסכים שהמפסידה תועבר לעמוד השיחה כ"הוכחה אלטרנטיבית"). כמו כן, אפשר להביא את ההוכחה הנסמכת (אני סומך עליך בעניין הזה) בנוסף להוכחה הישירה שהביא יובל. שתי ההוכחות יכולות לדור זה לצד זה בלי שום בעייה. MathKnight 20:46, 2 פבר' 2005 (UTC)

כל הכבוד על המרץ. :-)

הוכחה הראשונה נראית מעט ארוכה יותר, אבל אני כבר לא בטוח שהיא מסובכת יותר, נראה לי שזה רק פסיכולוגי, ואולי לאחר הוספת ההסברים להוכחה השנייה, לא יהיה הבדל מהבחינה הזו.

רק בירור אחד בשורה לפני האחרונה, נכתב שמצאנו דלתא, בעוד שלדעתי עלינו למצוא h מתאים (התנאי הכתוב בהוכחה גם הוא מספיק, אבל הוא פחות ישיר - אם מצאנו דלתא גדול מ0, יהיו לנו אינסוף hים מתאימים, בעוד שרצינו רק אחד)

נראה לי שבהוכחה השנייה יש כמה נקודות להרחיב - תוכל לפרט את האי-שיוויון? (תציין שהאינטגרל קטן/שווה לביטוי שהצבת במונה, ושהצבת הערך המקסימלי של האינטגרל תשמור על האי-שיוויון. לדעתי התכוונת להשתמש באי שיוויון המשולש, אבל לשם כך תצטרך לפרק את הערך המוחלט לשני חלקים, ואז לא ברור לי איך תמשיך - אולי פספסתי משהו?)

בשתי ההוכחות, הניסוח של ה"יהי אפסילון" (בתחילת ההוכחה, בסופה ברור שמדובר בכל אפסילון) נשמע מעט כמו "קיים אפסילון", (בראשונה, "עבור אפסילון כלשהו", ובשנייה "קיים אפסילון")

יובל מדר 06:37, 3 פבר' 2005 (UTC)

שים לב: בהוכחה הראשונה, אנו מנסים להוכיח גבול שמבוסס על שאיפה של h לאפס. פירוש הדבר הוא שאנו מחפשים דלתא כך שעבור h שמרחקו מאפס קטן מדלתא, ההפרש בין הביטויים שלנו יהיה קטן מאפסילון. ייתכן שמעט מבלבלת אותך העובדה שאח"כ משתמשים במרחק של h מאפס כדי לחסום גם את המרחק של t מx_0, אבל שים לב לגבול הבסיסי שהיה עלינו להוכיח.

את ה"אפסילון כלשהו" אולי צריך לשנות, אבל בעיקרון אני לא רואה בעייה עם זה: הוכחת גבול פירושה מציאת דלתא עבור אפסילון כלשהו (להבדיל מאפסילון מסויים) אבל זה בעיקר דיון סמנטי, ואתה מוזמן לתקן את זה כדי להבהיר את זה.

לדעתי ההבדל העיקרי בין שתי ההוכחות הוא שהראשונה יותר פורמלית, ואילו השנייה מפרטת ומסבירה קצת פחות (למשל, היא קופצת על שלב בהתחלה ולא מסבירה את השימוש באדיטיביות האינטגרל, וגם המעברים באי שוויון לא כל כך ברורים, ואני אפילו לא בטוח אם הם לגיטימיים), ולכן ההבדל באורך. הרעיון הבסיסי בשתיהן זהה. גדי אלכסנדרוביץ' 07:22, 3 פבר' 2005 (UTC)

אה, נכון. באמת התבלבלתי שם.

שני דברים נוספי שרציתי לברר, בסעיף "קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ", לא מוכח שקיימת קדומה, אלא שההפרש בין כל שתי קדומות הוא קבוע, לא?

פרט נוסף - בשתי ההוכחות שנתנו, איפה קיימת הסתמכות על הנוסחה? יובל מדר

מוכח שקיימת קדומה ואח"כ, בשביל הוכחת הנוסחה היסודית, מוכח שכל שתי קדומות נבדלות זו מזו בקבוע (ולכן כדי לחשב את האינטגרל המסויים ניתן להשתמש בקדומה כלשהי). להוכיח שקיימת קדומה זה, כאמור, עניין של שורה אחת - הפונקציה שלנו רציפה ולכן אינטגרבילית (זה דבר שבפני עצמו לא מיידי להוכיח, אמנם) ולכן אפשר להגדיר F באמצעות כמו שעשינו עד עכשיו (מה שאתה קורא לו "אינטגרל לא מסויים"), ומסתבר, על פי מה שהוכחנו קודם על הנגזרות, ש-F הזו היא פונקציה קדומה של f בכל הקטע. כל זה כתוב בשורה הראשונה בחלק הזה.

בשתי ההוכחות (שלי ושל mathknight) לא מסתמכים על הנוסחה היסודית, אלא בדיוק ההפך - מרגע שהוכחנו את ההוכחות שלנו, הנוסחה היסודית נובעת מהן באופן טריוויאלי. גדי אלכסנדרוביץ' 07:50, 3 פבר' 2005 (UTC)

אה, כך חשבתי. (היה נדמה לי מהדברים הקודמים שאמרת שהעדפת/ם לכתוב הוכחה לנוסחא היסודית שממנה נובע המשפט בצורה טריוויאלית)

לסיכום, אני חושב שההוכחה הראשונה עדיפה, (כיוון שהאי שיוויון בשנייה לא מוסבר כהלכה עדיין) אבל בסופו של דבר ההבדל ביניהן קטן למדי. (חישוב הגבול |F'(x)-f(x0)| באמצעות אפסילון-דלתא)

מה שבטוח הוא שאת ההוכחה למשפט הזה אני אזכור היטב למבחן היום. :-) (זו הסיבה שהתחלתי לכתוב הוכחה לנוסחה היסודית) יובל מדר

בהצלחה - זו הייתה גם הסיבה לכמה וכמה משפטים שאני העליתי לכאן. אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד הוכחה היא לכתוב אותה - בקריאה קל לפספס את הנקודות העדינות שעליהן צריך להתעכב. ברשותו של mathknight אני אעביר את ההוכחה השנייה אל דף השיחה. גדי אלכסנדרוביץ' 08:16, 3 פבר' 2005 (UTC)

בוצע. MathKnight 12:42, 3 פבר' 2005 (UTC)

אני מחזיק בדעה שכדאי להשאיר פה את שתי ההוכחות ולתת את הערך הזה בתור דוגמא בערך הוכחה לכך שניתן להוכיח אותו דבר בשתי דרכים שונות. טרול רפאים 16:01, 3 פבר' 2005 (UTC)

ההוכחה האלטרנטיבית

הפונקציה F גזירה איפה ש f רציפה

נניח ש f רציפה ב $x_{0}$. מאחר ש $\ F'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {F(x_{0})-F(x)}{x_{0}-x}}$ נסתכל על המנה שבגבול ונעריך אותה. אנו נראה באמצעות תחשיב אפסילון-דלתא שהגבול שמגדיר את הנגזרת של F שווה לערך של f בנקודה $x_{0}$.

ניגש לעבודה:

$\ \left|f(x_{0})-{\frac {F(x_{0})-F(x)}{x_{0}-x}}\right|=\left|f(x_{0})-{\frac {1}{x_{0}-x}}\int _{x}^{x_{0}}{f(t)dt}\right|$

מאחר ש f רציפה, קיים $\varepsilon$ כך ש

$\ |f(t)-f(x_{0})|<\varepsilon$

עבור $\ x<t<x_{0}$ ו $\ |x-x_{0}|<\delta$ קטן מספיק.

לכן,

$\ \left|f(x_{0})-{\frac {F(x_{0})-F(x)}{x_{0}-x}}\right|=\left|f(x_{0})-{\frac {1}{x_{0}-x}}\int _{x}^{x_{0}}{f(t)dt}\right|<$

$\ <\left|f(x_{0})-{\frac {(f(x_{0})+\varepsilon )(x_{0}-x)}{x_{0}-x}}\right|=\left|f(x_{0})-f(x_{0})-\varepsilon \right|=\varepsilon$

זה נכון לכל אפסילון חיובי קטן כרצוננו. ובכך הוכחנו ש

$F'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {F(x_{0})-F(x)}{x_{0}-x}}=f(x_{0})$

כנדרש.

מ.ש.ל.

קונוונצייה

במתמתיקה יש מה שנקרא קונוונצייה.

הערך עצמו לא מתאים לקונוונצייה.

X הוא התחום ו Y הוא הטווח תוצאת האינטגרל.

יש להחליף ולרשום X1 X2 ולא X ו Y

כל טוב

ניסוח טוב יותר ל "הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ"

הרי ניסוח קצר ובהיר יותר של אותו רעיון: [...] Faknr0ll - שיחה 04:21, 13 באוגוסט 2009 (IDT)

הועבר לערך עצמו Faknr0ll - שיחה 15:41, 13 באוגוסט 2009 (IDT)

ההוכחה הראשונה בערך לנוסחת ניוטון-לייבניץ

ממה שאני רואה, יש בעיה מסוימת בהוכחה לנוסחה שמסתמכת על המשפט היסודי, כיוון שבכך היא מניחה בעקיפין שהפונקציה f רציפה והרי מספיק שהיא רק תהיה אינטגרבילית (כפי שכתוב בנוסח המשפט וכפי שמבהירה ההוכחה השנייה). מה אתם אומרים? TUCG - שיחה 18:53, 21 בדצמבר 2009 (IST)

מה כ"כ יסודי פה?

אפשר להוסיף לערך הסבר למה זה משפט כל כך יסודי? kotz - שיחה 10:00, 22 בדצמבר 2009 (IST)

מתוך הערך: "...קושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי, הנגזרת והאינטגרל". גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 10:10, 22 בדצמבר 2009 (IST)

שאלה בקשר למשפט הראשון

האם לא צ"ל כתוב "תהי $\ f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $\ [a,b]$ ותהי $\ F(x)=\int _{a}^{x}{f(t)dt}$ אינטגרל מסוים שלה", ולא כפי שכתוב כעת? 109.160.249.202

הוכחה ש-F רציפה - סעיף 2.1

בהוכחה ש-F רציפה, כתוב "לכן F מקיימת את תנאי ליפשיץ ב- [a,b], ולכן היא רציפה במידה שווה", אבל ההוכחה ש-F רציפה במידה שווה מובאת באופן ישיר, לא צריך לתקן את זה? עזריאל11 - שיחה 17:03, 19 בנובמבר 2019 (IST)