שיחה:משפט הערך הממוצע של לגראנז'

מה דעתכם לשנות את שם הערך למשפט הערך הממוצע של לגראנז'? אבינעם 21:54, 15 פבר' 2005 (UTC)

אני בעד (ולהשאיר את העמוד הנוכחי כקישור, כמובן) גדי אלכסנדרוביץ' 21:59, 15 פבר' 2005 (UTC)

גם אני. זה יותר אינפורמטיבי. Harel 22:23, 15 פבר' 2005 (UTC)

תודה על השינוי. התלבטתי לגבי הקטגוריה משפטים מתמטיים, אם לרשום את המשפט קטגוריה:משפטים מתמטיים|לגראנז' כפי שעשית או קטגוריה:משפטים מתמטיים|ערך ממוצע, ואז הוא נמצא ליד משפט הערך הממוצע של קושי וליד משפט ערך הביניים. מה דעתך? אבינעם 23:03, 15 פבר' 2005 (UTC)

לדעתי להשאיר לגראנז', וגם את זה של קושי לשים תחת השם קושי. אני נתקלתי עד עכשיו הרבה יותר בהתייחסות למשפט הזה בתור "משפט לגראנז'" מאשר "משפט הערך הממוצע". כמובן, ייתכן שפשוט נתקלתי במעט מאוד התייחסויות וכולן מוטות... גדי אלכסנדרוביץ' 05:41, 16 פבר' 2005 (UTC)

אינני חושב כמוך, אבל אני אשנה את משפט קושי בהתאם :-). אבינעם 21:37, 16 פבר' 2005 (UTC)

שכתוב המבוא

גירסת 14.7.2005

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט העוסק בתכונה של פונקציה רציפה בקטע סגור $\left[a,b\right]$ כלשהו וגזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$. ניתן לחשב את השינוי של הפונקציה בין שתי קצוות הקטע (ההפרש של ערכיה בקצוות) על ידי לקיחת השינוי הממוצע של הפונקציה בקטע שבין שתי הקצוות והכפלתו באורך הקטע. המשפט אומר ששינוי ממוצע זה מתקבל בעבור נקודה מסויימת בקטע (ומכאן "הערך הממוצע" שבשם המשפט).

פירושו הגיאומטרי של המשפט הוא זה: קיימת נקודה כלשהי בתוך הקטע, כך ששיפוע המשיק לפונקציה באותה נקודה שווה לשיפוע הישר העובר בין ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

אף שהמשפט אינו נותן כלי מעשי למציאת הנקודה שבה מתקבל הממוצע, יש לו חשיבות תיאורטית רבה והוא שימושי בהוכחתם של משפטים רבים, שכן הוא מסייע להעריך את השינוי בערכה של פונקציה באמצעות הכרת נגזרתה.

הצעה ראשונה

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט בחשבון אינפיניטיסימלי העוסק במשיק לפונקציה רציפה בקטע סגור. לפי המשפט, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע (למעט אולי נקודות הקצה), אז יש נקודה שבה המשיק מקביל לקו המחבר את קצות הגרף של הפונקציה. משפט זה מהווה הרחבה פשוטה יחסית של משפט רול, שבו מניחים ששני הערכים שהפונקציה מקבלת בקצות הקטע שווים זה לזה. ההנחה על קיום הנגזרת חיונית: אם הפונקציה אינה גזירה בכל הקטע הפתוח, ואפילו רק בנקודה אחת, יתכן שהמשיק המבוקש אינו קיים. אחד השימושים החשובים של המשפט הוא בהערכת השגיאה כאשר מקרבים פונקציה בעזרת טור חזקות.

ממשפט הערך הממוצע נובע למשל, שאם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה היתה בדיוק 50 קמ"ש (וזאת כמובן בהנחה שפונקצית המרחק שהמכונית עוברת רציפה וגזירה - כלומר שלמכונית יש מהירות בכל רגע נתון).

הצעה שניה

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט בחשבון אינפיניטיסימלי העוסק במשיק לפונקציה רציפה בקטע סגור. לפי המשפט, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע (למעט אולי נקודות הקצה), אז יש נקודה שבה המשיק מקביל לקו המחבר את קצות הגרף של הפונקציה. משפט זה מהווה הרחבה פשוטה יחסית של משפט רול, שבו מניחים ששני הערכים שהפונקציה מקבלת בקצות הקטע שווים זה לזה. ההנחה על קיום הנגזרת חיונית: אם הפונקציה אינה גזירה בכל הקטע הפתוח, ואפילו רק בנקודה אחת, יתכן שהמשיק המבוקש אינו קיים. אחד השימושים החשובים של המשפט הוא בהערכת השגיאה כאשר מקרבים פונקציה בעזרת טור חזקות.

בניסוח אחר, המשפט מתייחס להשתנות של הפונקציה בין נקודות הקצה של הקטע - ומראה שתמיד קיימת נקודה שהשינוי הרגעי בה שווה לשעור ההשתנות הממוצע. לדוגמא, אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה היתה בדיוק 50 קמ"ש (וזאת כמובן בהנחה שפונקצית המרחק שהמכונית עוברת רציפה וגזירה - כלומר שלמכונית יש מהירות בכל רגע נתון).

דיון

אשמח אם לא-מתמטיקאי יוכל לחוות דעה על הקריאות של המבוא החדש. עוזי ו. 15:04, 15 יולי 2005 (UTC)

ארשה לעצמי להביע את דעתי. המבוא החדש ברור יותר, אך חסר מאוד גרף הפונקציה. אם אפשר לתת דוגמה גרפית לפונקציה כזאת, זה יקל מאוד על ההבנה. גילגמש • שיחה 15:14, 15 יולי 2005 (UTC)

יש דוגמה בויקי האנגלית ורק צריך לגנוב משם. גדי אלכסנדרוביץ' 15:16, 15 יולי 2005 (UTC)

הבעיה היחידה שלי עם הגרסה החדשה היא שהיא מדברת רק על משיק וכמעט ולא מתייחסת (למעט בדוגמה) לכך שפירוש המשפט הוא שהפונקציה הייתה חייבית להשתנות ברגע כלשהו כגודל השינוי הממוצע שלה (ומכאן שם המשפט). בשימושים שבהם נתקלתי עד עכשיו החשיבות היא בעובדה הזו, ולא בהתנהגות המשיק (כמובן ששני הדברים שקולים).

לדעתי הגרסה קריאה למדי, אבל רק בהנחה שהקורא יודע כבר מהו משיק ומהי פונקציה רציפה. גדי אלכסנדרוביץ' 15:16, 15 יולי 2005 (UTC)

טוב, את זה לומדים בתיכון ומקסימום יש הפניה לערכים האלה, אז אני לא רואה בזה בעיה. בתמונה האנגלית יש כמה מילים מוזרות מאוד - secant ו-tangent אם רוצים להשתמש בתמונה, צריך לתרגם את זה. גילגמש • שיחה 15:20, 15 יולי 2005 (UTC)

לא יודע מה לומדים בתיכון בימינו, אני למדתי על משיק לפונקציה רק בקורס אינפי 1 ובתיכון הסתפקתי במשיק למעגל. אמנם, בחדו"א של התיכון אמרו לי משהו על זה שהנגזרת היא שיפוע המשיק, אבל לא ממש אמרו מה זה משיק (כמו שלא אמרו מה זו נגזרת, או גבול). אתה צודק בקשר לתמונה, זו בעיה. כשתהיה לי הזדמנות אני אראה אם אני יכול לעשות משהו בעצמי. גדי אלכסנדרוביץ' 15:23, 15 יולי 2005 (UTC)

1. אני מסכים שתמונה מאד תעזור.
2. "השתנות" זה או הערך של הנגזרת, או שיפוע המשיק. אני לא בטוח שיותר מועיל להתייחס לראשון מביניהם, כי מי שיודע על הנגזרת מבין שהם אותו הדבר. גם בשימושים, מתייחסים לערך של הנגזרת שהוא בעל כרחו גם השיפוע. בכל-אופן ניסיתי לשלב את העניין ב'הצעה שניה' לעיל.
3. שאלה טובה - האם יש טעם לנסות להציג את משפט הערך הממוצע לקורא שלא יודע מהם פונקציה רציפה ומשיק. אני מעדיף שהוא יבין מתוך המבוא שאלו מושגים חיוניים וצריך קודם כל להכיר אותם. עוזי ו. 15:37, 15 יולי 2005 (UTC)

את זה צריך להסביר בערך "משיק" ו"נגזרת" לא פה. מהמבוא ברור לחלוטין שצריך לקרוא קודם את הערכים האלה. גילגמש • שיחה 15:47, 15 יולי 2005 (UTC)

זה הדבר שהכי מטריד אותי בכתיבה של ערך מתמטי - עד כמה זה ברור לקורא שאת המושגים הזה והזה הוא צריך כבר להכיר. בכל מקרה, עוזי מוזמן להחיל את השינויים שלו, ואני אראה מה אני יכול לעשות בקשר לתמונה. גדי אלכסנדרוביץ' 16:40, 15 יולי 2005 (UTC)

הפתרון הוא הצגת הערך בפרקליטו של השטן בתקווה שלא מתמטיקאים יעברו עליו. גילגמש • שיחה 17:04, 15 יולי 2005 (UTC)

• כיוון שהושגה כאן הסכמה על הפתיחה של עוזי, נחפזתי לשלב אותה בערך (כמובן תוך מתן הקרדיט הראוי).
• מובן מאליו, לא רק בערך מתמטי, שכאשר הקורא נתקל בקישור שאינו מכיר ובעטיו מתקשה להבין את הכתוב, עליו לקרוא תחילה את הערך שאליו מוביל קישור זה.
• הפתיחה החדשה היא שיפור יפה של הערך, ולמעשה הערך מהווה דוגמה למבנה הראוי לערך מתמטי-טכני: תחילה מבוא שמציג את המטרה, ואחר כך פירוט טכני. דוד שי 17:24, 15 יולי 2005 (UTC)

קיום הנגזרת

בויקיפדיה האנגלית הם כותבים שמספיק שהפונקציה תהיה גזירה במובן הרחב בקטע הפתוח כדי שהמשפט יתקיים. כאן, לא. מי צודק?

הוכחה ארוכה כזאת?

בשביל מה כל הסיפור הענק ההוא? מוכיחים את זה כך:

אתם מגדירים פונקציה: $g(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$

מתקיים $g(a)=g(b)=f(a)$ ולפי רול קיימת נקודה בה $g'(x)=0$ כלומר קימת נקודה c שעבורה מתקיים:

$g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0$

מציבים x=c סיימנו. 79.182.227.195 16:04, 7 בפברואר 2012 (IST)