שיטת סימפסון

באנליזה נומרית, שיטת סימפסון היא שתי שיטות לאינטגרציה נומרית הקרויות על שם המתמטיקאי הבריטי תומאס סימפסון.

בניגוד לשיטת הטרפז המחשבת אינטגרל מסוים של פונקציה באמצעות קירובה לפונקציה ליניארית, שיטת ה-1/3 של סימפסון ושיטת ה-3/8 של סימפסון עושות זאת באמצעות קירוב הפונקציה לפונקציה ריבועית ולפונקציה ממעלה שלישית בהתאמה.

שתי שיטות סימפסון הן חלק מנוסחאות ניוטון-קוטס.

סימונים

בערך זה נסמן ב-$\mathbb {N}$ וב-$\mathbb {R}$ את קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הממשיים בהתאמה.

כמו כן נסמן ב-$[a,b]$ את הקטע הסגור בין $a$ ל-$b$.

מבוא ומוטיבציה

יהי $h>0$ ותהי פונקציה $f:[-h,h]\to \mathbb {R}$. נניח כי יש לחשב את האינטגרל $\int _{-h}^{h}{f(x)dx}$ באופן נומרי.

מניחים שהפונקציה $f$ מקבלת את הערכים $y_{0}$, $y_{1}$ ו-$y_{2}$ עבור $x=-h$, $x=0$ ו-$x=h$ בהתאמה.

הפרבולה העוברת דרך שלוש הנקודות הללו היא ${\tilde {f}}(x):={\frac {y_{2}-2y_{1}+y_{0}}{2h^{2}}}x^{2}+{\frac {y_{2}-y_{0}}{2h}}x+y_{1}$.

חישוב האינטגרל של הפרבולה הזו בקטע הנתון הוא:

$I:=\int _{-h}^{h}{{\tilde {f}}(x)dx}={\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})$

על-ידי ההערכה כי הפונקציה $f(x)$ מתנהגת כמו פונקציה ריבועית עבור $h$ מספיק קטן, ניתן להניח כי ערך האינטגרל $I$ הוא קירוב טוב מספיק עבור האינטגרל של הפונקציה המקורית $f$. זהו הבסיס לשיטת ה-1/3 של סימפסון.

שיטת ה-3/8 של סימפסון דומה, אך משתמשת בארבע נקודות במקום בשלוש (ראו פירוט למטה).

שיטת ה-1/3 של סימפסון

תיאור השיטה

יהי $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$. מגדירים:

$h:={\frac {b-a}{2}}$

$y_{0}:=f(a),\quad y_{1}:=f(a+h)=f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\quad y_{2}:=f(a+2h)=f(b)$

אזי, לפי שיטת ה-1/3 של סימפסון:

$\int _{a}^{b}{f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})$

חישוב השגיאה

שיטת ה-1/3 של סימפסון מספקת ערך מדויק של האינטגרל עבור פולינומים ממעלה שלישית ומטה. כלומר, אם $f$ היא פונקציה מהצורה $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ עבור $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ כלשהם, הערך המתקבל משיטת ה-1/3 של סימפסון שווה במדויק לאינטגרל המבוקש.

אחרת, בהנחה ש-$f$ גזירה ברציפות ארבע פעמים, חישוב השגיאה של שיטת ה-1/3 יראה כי היא שווה ל-${\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$ כאשר $f^{(4)}$ היא הנגזרת הרביעית של $f$ ו-$\xi \in [a,b]$ כלשהו.

דוגמה

ניתן להשתמש בשיטת ה-1/3 כדי למצוא קירוב ללוגריתם הטבעי של 2. ידוע כי:

$I:=\int _{1}^{2}{{\frac {1}{x}}dx}=\ln 2-\ln 1=\ln 2=0.69314...$.

אם משתמשים בשיטת ה-1/3 של סימפסון לחישוב האינטגרל משמאל מתקבל הערך:

$I\approx {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot (1+4\cdot {\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}})={\frac {25}{36}}=0.69444...$

כלומר, הערך המתקבל רחוק מהערך האמיתי של $\ln 2$ ב-$0.187\%$.

שיטת ה-3/8 של סימפסון

תיאור השיטה

יהי $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$. מגדירים:

$h:={\frac {b-a}{3}}$

${\begin{aligned}y_{0}:=f(a)\\y_{1}:=f(a+h)=f\left({\frac {2a+b}{2}}\right)\\y_{2}:=f(a+2h)=f\left({\frac {a+2b}{2}}\right)\\y_{3}:=f(a+3h)=f(b)\end{aligned}}$

אזי, לפי שיטת ה-3/8 של סימפסון:

$\int _{a}^{b}{f(x)dx}\approx {\frac {3h}{8}}(y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3})$

חישוב השגיאה

באופן דומה לשיטת ה-1/3 של סימפסון, גם שיטת ה-3/8 מספקת ערך מדויק של האינטגרל עבור פולינומים ממעלה שלישית ומטה.

אחרת, שוב בהנחה ש-$f$ גזירה ברציפות ארבע פעמים, חישוב השגיאה של שיטת ה-3/8 יראה כי היא שווה ל-${\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$ כאשר$f^{(4)}$ היא הנגזרת הרביעית של $f$ ו-$\xi \in [a,b]$ כלשהו.

דוגמה

ניתן להשתמש בשיטת ה-3/8 כדי למצוא קירוב לקבוע פאי. ידוע כי:

$\int _{0}^{1}{{\frac {1}{1+x^{2}}}dx}=\arctan 1-\arctan 0={\frac {\pi }{4}}$.

אם משתמשים בשיטת ה-3/8 של סימפסון לחישוב האינטגרל משמאל ומכפילים ב-4 מתקבל הערך:

$4\cdot {\frac {3}{8}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot \left(1+3\cdot {\frac {9}{10}}+3\cdot {\frac {9}{13}}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {204}{65}}=3.13846...$

בעוד ערכו האמיתי של פאי הוא $3.14159$. כלומר, הערך המתקבל רחוק מהערך האמיתי ב-$0.1\%$.

שיטות סימפסון המורכבות

שתי שיטות סימפסון מניחות קירוב של הפונקציה אותה מקרבים לפונקציה ממעלה שנייה או שלישית. עם זאת, על פני מקטעים גדולים לא ניתן להניח קירוב שכזה. לשם כך יש לחלק את הקטע לקטעים קטנים יותר, שם ניתן להניח שקירוב זה אפשרי.

שיטת ה-1/3 המורכבת של סימפסון

יהי $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$. כמו כן, יהי $n\in \mathbb {N}$. מגדירים:

$h:={\frac {b-a}{2n}}$

$y_{i}:=f(a+ih),\quad 0\leq i\leq 2n$

אזי, לפי שיטת ה-1/3 המורכבת של סימפסון:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {h}{3}}(y_{2i}+4y_{2i+1}+y_{2i+2})\\={\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+2y_{4}+\dots +2y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n})\end{aligned}}$

בהנחה ש-$f$ גזירה ברציפות ארבע פעמים, השגיאה של שיטה זו היא ${\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi )$ כאשר$f^{(4)}$ היא הנגזרת הרביעית של $f$ ו-$\xi \in [a,b]$ כלשהו.

שיטת ה-3/8 המורכבת של סימפסון

יהי $a<b$ ופונקציה $f:[a,b]\to \mathbb {R}$. כמו כן, יהי $n\in \mathbb {N}$. מגדירים:

$h:={\frac {b-a}{3n}}$

$y_{i}:=f(a+ih),\quad 0\leq i\leq 3n$

אזי, לפי שיטת ה-3/8 המורכבת של סימפסון:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {3h}{8}}(y_{3i}+3y_{3i+1}+3y_{3i+2}+y_{3i+3})\\={\frac {3h}{8}}(y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+2y_{3}+3y_{4}+3y_{5}+2y_{6}+\dots +2y_{3n-3}+3y_{3n-2}+3y_{3n-1}+y_{3n})\end{aligned}}$

בהנחה ש-$f$ גזירה ברציפות ארבע פעמים, השגיאה של שיטה זו היא ${\frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi )$ כאשר$f^{(4)}$ היא הנגזרת הרביעית של $f$ ו-$\xi \in [a,b]$ כלשהו.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שיטת סימפסון בוויקישיתוף

• שיטת סימפסון, באתר MathWorld (באנגלית)