שיטת פרובניוס

שיטת פרובניוס היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית.

רקע

במתמטיקה, ישנן מספר דרכים להגיע לפתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילות מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית. אחת השיטות הנפוצות ביותר היא פיתוח טורי חזקות סביב נקודה $x_{0}$ בה אנו מעוניינים. כאשר מעוניינים בפיתוח טור חזקות סביב נקודה סינגולרית־רגולרית (רגילה) במערכת משוואות, משתמשים בשיטת פרובניוס, הקרויה על שם פרדיננד גאורג פרובניוס, מתמטיקאי גרמני בן המאה ה-19. פרובניוס, בוגר אוניברסיטת ברלין, כתב את תזת הדוקטורט שלו על משוואות דיפרנציאליות ומנחה הדוקטורט שלו היה קארל תיאודור וילהלם ויירשטראס הנודע, בין היתר, במשפטי ויירשטראס ונחשב לאבי האנליזה המודרנית.

באמצעות השיטה ניתן לפתור בעיות הכוללות מציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות המתארות תופעות פיזיקליות כגון תנודות, גלים ודיפוזיה, ובעיות מתמטיות הכוללות פונקציות מיוחדות ותמרות אינטגרליות. השיטה שימשה גם בחקר הפיזיקה המתמטית, מכניקת הקוונטים ותורת המשוואות הדיפרנציאליות.

נקודות סינגולריות רגילות

טרם ניגש לפתרון המשוואה הרצויה, צריך לבדוק האם ישנה סינגולריות במערכת ואם ישנה - מהי סוגה. נתבונן במשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני הבאה:

${\begin{alignedat}{2}f(x)y''+g(x)y'+h(x)y&=0\end{alignedat}}$

ערך של המשתנה $x_{0}$ המאפס את הפונקציה ${\begin{alignedat}{2}f(x_{0})=0\end{alignedat}}$יקרא נקודה סינגולרית של המשוואה (מערכת) ולמעשה מאפס את הסדר המוביל של המשוואה הדיפרנציאלית.

נקודה סינגולרית רגולרית

נקודה סינגולרית, תקרא רגולרית, או רגילה, באם מתקיימים התנאים הבאים:

1. ${\begin{alignedat}{2}{\Bigl |}\lim _{x\to x_{0}}(x-x_{0}){\frac {g(x)}{f(x)}}{\Bigl |}<\infty \end{alignedat}}$
2. ${\begin{alignedat}{2}{\Bigl |}\lim _{x\to x_{0}}(x-x_{0})^{2}{\frac {h(x)}{f(x)}}{\Bigl |}<\infty \end{alignedat}}$

כלומר, נקודה $x_{0}$ תקרא נקודה סינגולרית רגולרית אם הגבולות קיימים וחסומים. אלו התנאים על מקדמי הפונקציה $y(x)$ ונגזרותיה, במשוואות דיפרנציאליות מסדר שני.

תנאי חסימות הוא עיקרון מאוד דומיננטי בפתרון משוואות דיפרנציאליות בכלל ועם תנאי שפה בפרט במערכות פיזיקליות.

תיאור השיטה

נסתכל על הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית מסדר שני הבאה:

${\begin{alignedat}{2}x^{2}y''+xp(x)y'+q(x)y&=0\\\\p(x)=x{\frac {g(x)}{f(x)}},\qquad q(x)=x^{2}{\frac {h(x)}{f(x)}}\end{alignedat}}$, כאשר $x\neq 0$

הפונקציות ${\begin{alignedat}{2}p(x)\end{alignedat}}$ ו${\begin{alignedat}{2}q(x)\end{alignedat}}$ הן פונקציות אנליטיות בתחום הנתון, סביב הנקודה ${\begin{alignedat}{2}f(x_{0})=0\end{alignedat}}$ שהיא סינגולרית רגולרית.

על מנת למצוא את מרחב הפתרונות הכולל, עלינו למצוא 2 פתרונות בלתי תלויים ליניארית (בת"ל) שיקיימו את המשוואה, או במילים אחרות, הצבת הפתרון במשוואה המקורית תיתן את הפתרון 0.

הפתרונות שיתקבלו יהיו טורים סופיים, או אינסופיים, בהתאם למשוואה הנתונה.

משוואה אופיינית

תחילה, נחשב את ערכי הפונקציות ${\begin{alignedat}{2}p(x)\end{alignedat}}$ ו${\begin{alignedat}{2}q(x)\end{alignedat}}$ סביב הסינגולריות $x_{0}=0$:

${\begin{alignedat}{2}p_{0}=\lim _{x\to 0}p(x)\\\\q_{0}=\lim _{x\to 0}q(x)\end{alignedat}}$

והמשוואה האופיינית/קרקטריסטית תראה כך:

${\begin{alignedat}{2}s(s-1)+p_{0}s+q_{0}=0\end{alignedat}}$

זוהי משוואה ריבועית, אשר פתרונותיה (השורשים $s_{1},\ s_{2}$ ) קובעות את אופי 2 הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרונות אפשריים

נבדיל בין ארבעה מקרים על מנת לקבוע את צורת הפתרון:

1. אם $s_{1},\ s_{2}\in \mathbb {R}$ וגם $s_{1}-s_{2}\not \in \mathbb {Z}$:

${\begin{alignedat}{2}y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+s_{1}}\\\\y_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+s_{2}}\end{alignedat}}$.

2. אם $s_{1},\ s_{2}\in \mathbb {R}$ וגם $s_{1}-s_{2}\in \mathbb {Z}$:

${\begin{alignedat}{2}y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+s_{1}}\\\\y_{2}=k\cdot {\ln \left\vert x\right\vert }y_{1}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+s_{2}}\end{alignedat}}$

כאשר $k=0,\ 1$ כאשר פותרים פונקציית בסל (Bessel), נתבונן בסדר המשוואה $\upsilon$. אם $\upsilon \in \mathbb {Z}$ שלם, $k=1$. אם לא $\upsilon \not \in \mathbb {Z}$, $k=0$.

3. אם $s_{1}=s_{2}\equiv S$:

${\begin{alignedat}{2}y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+S}\\\\y_{2}={\ln \left\vert x\right\vert }y_{1}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}x^{n+S}\end{alignedat}}$

נשים לב שכאן, בפתרון של $y_{2}$, הסכום מתחיל מ- $n=1$ ולא מ- $n=0$.

4. אם $s_{1},\ s_{2}\in \mathbb {C}$ וגם $s_{1}={\bar {s_{2}}}$, כאשר $s_{1,2}=x\pm iy$:

${\begin{alignedat}{2}U=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+s_{1}}\qquad V=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+s_{2}}\end{alignedat}}$

$y_{1}=Re(U)={\frac {U+{\bar {U}}}{2}}$

${\begin{alignedat}{2}y_{2}=Re(V)={\frac {V+{\bar {V}}}{2}}\end{alignedat}}$ או ${\begin{alignedat}{2}y_{2}=Im(U)={\frac {U-{\bar {U}}}{2i}}\end{alignedat}}$

• פונקציית הלוגריתם הטבעי $\ln(x)$ בפתרון השני מבטיחה ששני הפתרונות, $y_{1}$ ו־$y_{2}$, יהיו בלתי תלויים ליניארית.

ראו גם

• חשבון אינפיניטסימלי
• סינגולריות
• תלות ליניארית
• פונקציית בסל
• טור לורן
• המישור המרוכב

קישורים חיצוניים

1. Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering - by S.I Hayek. ISBN 9781420081978. Published June 22, 2010 by Chapman and Hall/CRC.
2. Advanced Engineering Mathematics. ERWIN KREYSZIG, HERBERT KREYSZIG, EDWARD J. NORMINTON.JOHN WILEY & SONS, INC. ISBN 978-0-470-45836-5 https://soaneemrana.org/onewebmedia/ADVANCED%20ENGINEERING%20MATHEMATICS%20BY%20ERWIN%20ERESZIG1.pdf
3. Saff, Edward B., Arthur David Snider, and E. B. Saff. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-12-017968-X.
4. Tyn Myint U., Ordinary Differential Equations, Elsevier, 1978. ISBN 9780444002334, 0444002332