שיטת פרובניוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שיטת פרובניוס היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר) מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

במתמטיקה, כאשר מעוניינים לפתח פתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילות (מד"ר) מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית, ישנן מספר דרכים להגיע לפתרון. בפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, אחת השיטות הנפוצות ביותר היא פיתוח טורי חזקות סביב נקודה בה אנו מעוניינים. כאשר מעוניינים בפיתוח טור חזקות סביב נקודה שהיא סינגולרית רגולרית (רגילה) במערכת המשוואות שלנו, נשתמש בשיטת פרובניוס, הקרויה על שם פרדיננד גאורג פרובניוס - מתמטיקאי גרמני מן המאה ה-19. פרובניוס, בוגר אוניברסיטת ברלין, כתב את תזת הדוקטורט שלו על משוואות דיפרנציאליות והמנחה הדוקטורט שלו היה קארל תיאודור וילהלם ויירשטראס הנודע, בין היתר, במשפטי ויירשטראס ונחשב לאבי האנליזה המודרנית.

נקודות סינגולריות רגילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

טרם ניגש לפתרון המשוואה הרצויה, עלינו תחילה לבדוק האם ישנה סינגולריות במערכת ואם ישנה - מהי סוגה. נתבונן במד"ר מסדר שני הבאה:

ערך של המשתנה המאפס את הפונקציה יקרא נקודה סינגולרית של המשוואה (מערכת) ולמעשה מאפס את הסדר המוביל של המשוואה הדיפרנציאלית.

נקודה סינגולרית רגולרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקודה סינגולרית, תקרא רגולרית, או רגילה, באם מתקיימים התנאים הבאים:

כלומר, נקודה תקרא נקודה סינגולרית רגולרית אם הגבולות קיימים וחסומים. אלו התנאים על מקדמי הפונקציה ונגזרותיה, במשוואות דיפרנציאליות מסדר שני.

תנאי חסימות הוא עיקרון מאוד דומיננטי בפתרון משוואות דיפרנציאליות בכלל ועם תנאי שפה בפרט במערכות פיזיקליות.

תיאור השיטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסתכל על הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית מסדר שני הבאה:


, כאשר


הפונקציות ו הן פונקציות אנליטיות בתחום הנתון, סביב הנקודה שהיא סינגולרית רגולרית.

על מנת למצוא את מרחב הפתרונות הכולל, עלינו למצוא 2 פתרונות בלתי תלויים ליניארית (בת"ל) שיקיימו את המשוואה, או במילים אחרות, הצבת הפתרון במשוואה המקורית תיתן את הפתרון 0.

הפתרונות שיתקבלו יהיו טורים סופיים, או אינסופיים, בהתאם למשוואה הנתונה.

משוואה קרקטריסטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תחילה, נחשב את ערכי הפונקציות וסביב הסינגולריות :



והמשוואה האופיינית/קרקטריסטית תראה כך:



זוהי משוואה ריבועית, אשר פתרונותיה (השורשים ) קובעות את אופי 2 הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרונות אפשריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נבדיל בין ארבעה מקרים על מנת לקבוע את צורת הפתרון:

1) אם וגם :

.


2) אם וגם :

כאשר כאשר פותרים פונקציית בסל (Bessel), נתבונן בסדר המשוואה . אם שלם, . אם לא , .


3) אם :

נשים לב שכאן, בפתרון של , הסכום מתחיל מ- ולא מ- .


4) אם וגם , כאשר :

או


  • פונקציית הלוגריתם הטבעי בפתרון השני מבטיח ששני הפתרונות, ו- , יהיו בת"ל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering - by S.I Hayek. ISBN 9781420081978. Published June 22, 2010 by Chapman and Hall/CRC.
  2. Advanced Engineering Mathematics. ERWIN KREYSZIG, HERBERT KREYSZIG, EDWARD J. NORMINTON.JOHN WILEY & SONS, INC. ISBN 978-0-470-45836-5 https://soaneemrana.org/onewebmedia/ADVANCED%20ENGINEERING%20MATHEMATICS%20BY%20ERWIN%20ERESZIG1.pdf
  3. Saff, Edward B., Arthur David Snider, and E. B. Saff. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 2000.ISBN 0-12-017968-X.
  4. Tyn Myint U., Ordinary Differential Equations, Elsevier, 1978. ISBN 9780444002334, 0444002332